Номер 18.3, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.3. Среди чисел $-2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{9\pi}{2}, 7\pi$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее значение;

3) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наименьшее значение.

Для решения данной задачи необходимо проанализировать значения функции $y = \sin x$ для каждого из предложенных чисел: $-2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{9\pi}{2}, 7\pi$.

1) нули функции y = sin x;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $\sin x = 0$. Общая формула для нулей синуса: $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число.
Выберем из предложенного списка числа, которые соответствуют этой формуле, проверив значение синуса для каждого из них:
$\sin(-2\pi) = 0$
$\sin(-\pi) = 0$
$\sin(0) = 0$
$\sin(2\pi) = 0$
$\sin(7\pi) = 0$
Эти значения соответствуют $k = -2, -1, 0, 2, 7$ соответственно.
Ответ: $-2\pi, -\pi, 0, 2\pi, 7\pi$.

2) значения аргумента, при которых функция y = sin x принимает наибольшее значение;

Наибольшее значение функции $y = \sin x$ равно 1. Это происходит, когда $\sin x = 1$. Общая формула для таких значений аргумента: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ – любое целое число.
Выберем из предложенного списка числа, которые соответствуют этой формуле:
$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\pi) = 1$ (здесь $k=-1$)
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (здесь $k=0$)
$\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 4\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2 \cdot 2\pi) = 1$ (здесь $k=2$)
Для остальных чисел из списка значение синуса не равно 1.
Ответ: $-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$.

3) значения аргумента, при которых функция y = sin x принимает наименьшее значение.

Наименьшее значение функции $y = \sin x$ равно -1. Это происходит, когда $\sin x = -1$. Общая формула для таких значений аргумента: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (или, что то же самое, $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$), где $k$ – любое целое число.
Выберем из предложенного списка числа, которые соответствуют этой формуле:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ (здесь $k=0$)
$\sin(\frac{3\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi) = -1$ (здесь $k=1$)
Для остальных чисел из списка значение синуса не равно -1.
Ответ: $-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.