Номер 2, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. § 18. Свойства и графики функций у = sin x и у = cos х. Глава 3. Тригонометрические функции - номер 2, страница 140.

2. Перечислите основные свойства функции $y = \cos x$.

1. Область определения

Функция $y = \cos x$ определена для всех действительных значений аргумента $x$, так как для любого числа можно найти значение его косинуса. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Множество значений

Значения функции косинус ограничены и находятся в пределах от -1 до 1 включительно. Это следует из определения косинуса через единичную окружность, где абсцисса точки не может быть больше 1 или меньше -1.

Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.

3. Четность

Функция является четной, так как для любого значения $x$ из области определения выполняется тождество $\cos(-x) = \cos(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: функция четная.

4. Периодичность

Функция $y = \cos x$ является периодической. Ее значения повторяются через определенный интервал. Наименьший положительный период функции равен $2\pi$, так как $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ для любого $x$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 2\pi$.

5. Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, т.е. $\cos x = 0$. Это происходит в точках, соответствующих вершинам единичной окружности на оси OY.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства

Это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
- Функция положительна ($y > 0$), когда $x$ принадлежит интервалам $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Функция отрицательна ($y < 0$), когда $x$ принадлежит интервалам $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$; $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности

Это промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.
- Функция возрастает на отрезках вида $[-\pi + 2\pi n; 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает на отрезках вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: возрастает на $[-\pi + 2\pi n; 2\pi n]$; убывает на $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы

Экстремумы — это максимальные и минимальные значения функции.
- Максимальное значение $y_{max} = 1$ достигается в точках $x_{max} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Минимальное значение $y_{min} = -1$ достигается в точках $x_{min} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y_{max} = 1$ при $x = 2\pi n$; $y_{min} = -1$ при $x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

9. Непрерывность

Функция $y = \cos x$ является непрерывной на всей своей области определения. Ее график представляет собой сплошную линию без разрывов и скачков.

Ответ: функция непрерывна на множестве $\mathbb{R}$.