Номер 18.4, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.4. Среди чисел $-\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$, $-\pi$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{2}$, $5\pi$, $8\pi$ укажите:

1) нули функции $y = \cos x;$

2) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наибольшее значение;

3) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наименьшее значение.

1) нули функции $y = \cos x$;
Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для функции $y = \cos x$ необходимо найти такие $x$ из предложенного списка, для которых $\cos x = 0$.
Общее решение уравнения $\cos x = 0$ имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Это означает, что косинус равен нулю для всех нечетных кратных $\frac{\pi}{2}$.
Проверим каждое число из списка: $\{-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, 5\pi, 8\pi\}$.
$\cos(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
$\cos(-\pi) = -1$.
$\cos(0) = 1$.
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cos(\pi) = -1$.
$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
$\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0$.
$\cos(\frac{7\pi}{2}) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cos(5\pi) = -1$.
$\cos(8\pi) = 1$.
Числа, при которых $\cos x = 0$, и являются нулями функции.
Ответ: $-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$.

2) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наибольшее значение;
Наибольшее значение функции $y = \cos x$ равно $1$. Это значение достигается при значениях аргумента $x$, удовлетворяющих уравнению $\cos x = 1$.
Общее решение этого уравнения: $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Это означает, что аргумент должен быть четным кратным $\pi$.
Из предложенного списка чисел выберем те, которые удовлетворяют этому условию:
При $x = 0$, $\cos(0) = 1$.
При $x = 8\pi$, $\cos(8\pi) = \cos(4 \cdot 2\pi) = 1$.
Остальные числа из списка не подходят.
Ответ: $0, 8\pi$.

3) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наименьшее значение.
Наименьшее значение функции $y = \cos x$ равно $-1$. Это значение достигается при значениях аргумента $x$, удовлетворяющих уравнению $\cos x = -1$.
Общее решение этого уравнения: $x = \pi + 2\pi k$ или $x = (2k+1)\pi$, где $k$ — любое целое число. Это означает, что аргумент должен быть нечетным кратным $\pi$.
Из предложенного списка чисел выберем те, которые удовлетворяют этому условию:
При $x = -\pi$, $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.
При $x = \pi$, $\cos(\pi) = -1$.
При $x = 5\pi$, $\cos(5\pi) = \cos(4\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Остальные числа из списка не подходят.
Ответ: $-\pi, \pi, 5\pi$.