Номер 18.6, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.6. На каких из указанных промежутков функция $y = \sin x$ убывает:

1) $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$;

2) $[-\pi; 0]$;

3) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

4) $[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$?

Для того чтобы определить промежутки убывания функции $y = \sin x$, необходимо найти промежутки, на которых её производная $y'$ является неположительной, то есть $y' \le 0$.

Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$.

Таким образом, задача сводится к решению неравенства $\cos x \le 0$.

Функция косинуса принимает неположительные значения во второй и третьей координатных четвертях, что соответствует промежутку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, все промежутки, на которых $\cos x \le 0$, имеют вид $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k – любое целое число).

Теперь проанализируем каждый из предложенных промежутков.

Проверим, соответствует ли этот промежуток общей формуле $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ для некоторого целого значения $k$. Подставим $k = -2$:

Начало промежутка: $\frac{\pi}{2} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{2} - 4\pi = \frac{\pi - 8\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$.

Конец промежутка: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi(-2) = \frac{3\pi}{2} - 4\pi = \frac{3\pi - 8\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$.

Поскольку заданный промежуток $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$ совпадает с одним из промежутков убывания, на нем функция $y=\sin x$ убывает.

Ответ: На промежутке $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает.

Этот промежуток состоит из двух частей с разным характером монотонности:

• На отрезке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ (третья координатная четверть) $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.
• На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ (четвертая координатная четверть) $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Так как на всем промежутке $[-\pi; 0]$ функция не сохраняет монотонность, он не является промежутком убывания.

Ответ: На промежутке $[-\pi; 0]$ функция $y = \sin x$ не является убывающей.

На всем этом промежутке (четвертая и первая координатные четверти) выполняется неравенство $\cos x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ на этом промежутке возрастает.

Ответ: На промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ возрастает.

Проверим, соответствует ли этот промежуток общей формуле $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ для некоторого целого значения $k$. Подставим $k = 1$:

Начало промежутка: $\frac{\pi}{2} + 2\pi(1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi + 4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.

Конец промежутка: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi(1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi + 4\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$.

Поскольку заданный промежуток $[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$ совпадает с одним из промежутков убывания, на нем функция $y=\sin x$ убывает.

Ответ: На промежутке $[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает.