Страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.2. Проходит ли график функции $y = \sin x$ через точку:

1) $A\left(-\frac{\pi}{2}; -1\right)$;

2) $B(\pi; -1)$;

3) $C\left(\frac{23\pi}{6}; -\frac{1}{2}\right)$?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = \sin x$ через заданную точку с координатами $(x_0; y_0)$, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство $y_0 = \sin x_0$, то точка принадлежит графику функции. В противном случае — не принадлежит.

1) A($-\frac{\pi}{2}$; -1)
Проверим, проходит ли график функции $y = \sin x$ через точку $A$ с координатами $x = -\frac{\pi}{2}$ и $y = -1$.
Подставим значение $x$ в функцию:
$y = \sin(-\frac{\pi}{2})$
Синус является нечетной функцией, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$y = -\sin(\frac{\pi}{2})$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:
$y = -1$
Полученное значение $y$ совпадает с ординатой точки $A$. Так как $-1 = -1$, равенство верное.
Ответ: да, проходит.

2) B($\pi$; -1)
Проверим, проходит ли график функции $y = \sin x$ через точку $B$ с координатами $x = \pi$ и $y = -1$.
Подставим значение $x$ в функцию:
$y = \sin(\pi)$
Известно, что значение синуса для угла $\pi$ равно 0:
$y = 0$
Полученное значение $y$ не совпадает с ординатой точки $B$. Так как $0 \neq -1$, равенство неверное.
Ответ: нет, не проходит.

3) C($\frac{23\pi}{6}$; $\frac{1}{2}$)
Проверим, проходит ли график функции $y = \sin x$ через точку $C$ с координатами $x = \frac{23\pi}{6}$ и $y = \frac{1}{2}$.
Подставим значение $x$ в функцию:
$y = \sin(\frac{23\pi}{6})$
Функция синуса периодична с периодом $2\pi$. Мы можем упростить аргумент, выделив целое число периодов. $2\pi = \frac{12\pi}{6}$.
$\frac{23\pi}{6} = \frac{24\pi - \pi}{6} = \frac{24\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6}$.
$y = \sin(4\pi - \frac{\pi}{6})$
Так как $4\pi$ это два полных периода ($2 \cdot 2\pi$), мы можем его отбросить, используя периодичность синуса:
$y = \sin(-\frac{\pi}{6})$
Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$):
$y = -\sin(\frac{\pi}{6})$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y = -\frac{1}{2}$
Полученное значение $y$ не совпадает с ординатой точки $C$. Так как $-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$, равенство неверное.
Ответ: нет, не проходит.

18.3. Среди чисел $-2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{9\pi}{2}, 7\pi$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее значение;

3) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наименьшее значение.

Для решения данной задачи необходимо проанализировать значения функции $y = \sin x$ для каждого из предложенных чисел: $-2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{9\pi}{2}, 7\pi$.

1) нули функции y = sin x;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $\sin x = 0$. Общая формула для нулей синуса: $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число.
Выберем из предложенного списка числа, которые соответствуют этой формуле, проверив значение синуса для каждого из них:
$\sin(-2\pi) = 0$
$\sin(-\pi) = 0$
$\sin(0) = 0$
$\sin(2\pi) = 0$
$\sin(7\pi) = 0$
Эти значения соответствуют $k = -2, -1, 0, 2, 7$ соответственно.
Ответ: $-2\pi, -\pi, 0, 2\pi, 7\pi$.

2) значения аргумента, при которых функция y = sin x принимает наибольшее значение;

Наибольшее значение функции $y = \sin x$ равно 1. Это происходит, когда $\sin x = 1$. Общая формула для таких значений аргумента: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ – любое целое число.
Выберем из предложенного списка числа, которые соответствуют этой формуле:
$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\pi) = 1$ (здесь $k=-1$)
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (здесь $k=0$)
$\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 4\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2 \cdot 2\pi) = 1$ (здесь $k=2$)
Для остальных чисел из списка значение синуса не равно 1.
Ответ: $-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$.

3) значения аргумента, при которых функция y = sin x принимает наименьшее значение.

Наименьшее значение функции $y = \sin x$ равно -1. Это происходит, когда $\sin x = -1$. Общая формула для таких значений аргумента: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (или, что то же самое, $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$), где $k$ – любое целое число.
Выберем из предложенного списка числа, которые соответствуют этой формуле:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ (здесь $k=0$)
$\sin(\frac{3\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi) = -1$ (здесь $k=1$)
Для остальных чисел из списка значение синуса не равно -1.
Ответ: $-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

18.4. Среди чисел $-\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$, $-\pi$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{2}$, $5\pi$, $8\pi$ укажите:

1) нули функции $y = \cos x;$

2) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наибольшее значение;

3) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наименьшее значение.

1) нули функции $y = \cos x$;
Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для функции $y = \cos x$ необходимо найти такие $x$ из предложенного списка, для которых $\cos x = 0$.
Общее решение уравнения $\cos x = 0$ имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Это означает, что косинус равен нулю для всех нечетных кратных $\frac{\pi}{2}$.
Проверим каждое число из списка: $\{-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, 5\pi, 8\pi\}$.
$\cos(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
$\cos(-\pi) = -1$.
$\cos(0) = 1$.
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cos(\pi) = -1$.
$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
$\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0$.
$\cos(\frac{7\pi}{2}) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cos(5\pi) = -1$.
$\cos(8\pi) = 1$.
Числа, при которых $\cos x = 0$, и являются нулями функции.
Ответ: $-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$.

2) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наибольшее значение;
Наибольшее значение функции $y = \cos x$ равно $1$. Это значение достигается при значениях аргумента $x$, удовлетворяющих уравнению $\cos x = 1$.
Общее решение этого уравнения: $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Это означает, что аргумент должен быть четным кратным $\pi$.
Из предложенного списка чисел выберем те, которые удовлетворяют этому условию:
При $x = 0$, $\cos(0) = 1$.
При $x = 8\pi$, $\cos(8\pi) = \cos(4 \cdot 2\pi) = 1$.
Остальные числа из списка не подходят.
Ответ: $0, 8\pi$.

3) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наименьшее значение.
Наименьшее значение функции $y = \cos x$ равно $-1$. Это значение достигается при значениях аргумента $x$, удовлетворяющих уравнению $\cos x = -1$.
Общее решение этого уравнения: $x = \pi + 2\pi k$ или $x = (2k+1)\pi$, где $k$ — любое целое число. Это означает, что аргумент должен быть нечетным кратным $\pi$.
Из предложенного списка чисел выберем те, которые удовлетворяют этому условию:
При $x = -\pi$, $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.
При $x = \pi$, $\cos(\pi) = -1$.
При $x = 5\pi$, $\cos(5\pi) = \cos(4\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Остальные числа из списка не подходят.
Ответ: $-\pi, \pi, 5\pi$.

18.5. На каких из указанных промежутков функция $y = \sin x$ возрастает:

1) $[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$; 2) $[ - \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} ]$; 3) $[ - \frac{3\pi}{2}; - \frac{\pi}{2} ]$; 4) $[ - \frac{5\pi}{2}; - \frac{3\pi}{2} ]$?

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция $y = \sin x$ возрастает, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых производная неотрицательна.

Производная функции $y = \sin x$ есть $y' = \cos x$.

Функция $y = \sin x$ возрастает тогда, когда ее производная $y' \ge 0$, то есть $\cos x \ge 0$.

Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих промежуткам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число.

Проанализируем каждый из предложенных промежутков.

1) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Этот промежуток получается из общей формулы $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=0$. На всем этом промежутке $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Ответ: на этом промежутке функция возрастает.

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Этот промежуток можно разбить на два: $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. На первом промежутке, как мы выяснили, функция возрастает ($\cos x \ge 0$). На втором промежутке, $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, косинус неположителен ($\cos x \le 0$), поэтому функция $y = \sin x$ убывает. Так как на части данного промежутка функция убывает, она не является возрастающей на всем промежутке.

Ответ: на этом промежутке функция не является возрастающей.

3) $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$

На этом промежутке значение $\cos x$ неположительно ($\cos x \le 0$). Этот промежуток является одним из промежутков убывания функции $y = \sin x$. Он соответствует промежутку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ со сдвигом на один период влево ($k=-1$). Таким образом, на всем этом промежутке функция убывает.

Ответ: на этом промежутке функция убывает, а не возрастает.

4) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$

Этот промежуток получается из общей формулы промежутков возрастания $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=-1$:

$[-\frac{\pi}{2} + 2\pi(-1); \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1)] = [-\frac{\pi}{2} - 2\pi; \frac{\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$.

На всем этом промежутке $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Ответ: на этом промежутке функция возрастает.

18.6. На каких из указанных промежутков функция $y = \sin x$ убывает:

1) $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$;

2) $[-\pi; 0]$;

3) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

4) $[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$?

Для того чтобы определить промежутки убывания функции $y = \sin x$, необходимо найти промежутки, на которых её производная $y'$ является неположительной, то есть $y' \le 0$.

Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$.

Таким образом, задача сводится к решению неравенства $\cos x \le 0$.

Функция косинуса принимает неположительные значения во второй и третьей координатных четвертях, что соответствует промежутку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, все промежутки, на которых $\cos x \le 0$, имеют вид $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k – любое целое число).

Теперь проанализируем каждый из предложенных промежутков.

Проверим, соответствует ли этот промежуток общей формуле $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ для некоторого целого значения $k$. Подставим $k = -2$:

Начало промежутка: $\frac{\pi}{2} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{2} - 4\pi = \frac{\pi - 8\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$.

Конец промежутка: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi(-2) = \frac{3\pi}{2} - 4\pi = \frac{3\pi - 8\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$.

Поскольку заданный промежуток $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$ совпадает с одним из промежутков убывания, на нем функция $y=\sin x$ убывает.

Ответ: На промежутке $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает.

Этот промежуток состоит из двух частей с разным характером монотонности:

• На отрезке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ (третья координатная четверть) $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.
• На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ (четвертая координатная четверть) $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Так как на всем промежутке $[-\pi; 0]$ функция не сохраняет монотонность, он не является промежутком убывания.

Ответ: На промежутке $[-\pi; 0]$ функция $y = \sin x$ не является убывающей.

На всем этом промежутке (четвертая и первая координатные четверти) выполняется неравенство $\cos x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ на этом промежутке возрастает.

Ответ: На промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ возрастает.

Проверим, соответствует ли этот промежуток общей формуле $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ для некоторого целого значения $k$. Подставим $k = 1$:

Начало промежутка: $\frac{\pi}{2} + 2\pi(1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi + 4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.

Конец промежутка: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi(1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi + 4\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$.

Поскольку заданный промежуток $[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$ совпадает с одним из промежутков убывания, на нем функция $y=\sin x$ убывает.

Ответ: На промежутке $[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает.

18.7. Какие из данных промежутков являются промежутками убывания функции $y = \cos x$:

1) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$;

2) $[-2\pi; -\pi]$;

3) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

4) $[6\pi; 7\pi]$?

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция $y = \cos x$ убывает, необходимо найти промежутки, на которых ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$.

Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$.

Решим неравенство:

$-\sin x \le 0$

$\sin x \ge 0$

Синус неотрицателен, когда его аргумент находится в первой или второй координатных четвертях. В общем виде эти промежутки можно записать как $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь проанализируем каждый из предложенных промежутков.

Этот промежуток можно записать как $[-2.5\pi; -1.5\pi]$. Чтобы проверить, является ли он промежутком убывания, нужно определить знак $\sin x$ на нем. Рассмотрим часть этого промежутка, например, от $-2.5\pi$ до $-2\pi$. Углы на этом отрезке соответствуют четвертой координатной четверти (например, угол $-2.25\pi$ эквивалентен углу $-0.25\pi = -\frac{\pi}{4}$). В четвертой четверти $\sin x < 0$. Поскольку на части промежутка $[-\frac{5\pi}{2}; -2\pi]$ выполняется условие $\sin x < 0$, то производная $y' = -\sin x > 0$. Это означает, что на этой части функция $y = \cos x$ возрастает. Следовательно, весь промежуток $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$ не является промежутком убывания.

Ответ: не является.

Сравним этот промежуток с общей формулой для промежутков убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Если взять $k = -1$, то получим: $[2\pi(-1), \pi + 2\pi(-1)] = [-2\pi, -\pi]$. Данный промежуток полностью совпадает с одним из промежутков, где функция $y = \cos x$ убывает. На этом промежутке $\sin x \ge 0$, а значит $y' = -\sin x \le 0$.

Ответ: является.

Рассмотрим промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Он состоит из двух частей: $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ и $[0; \frac{\pi}{2}]$. На части $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ угол $x$ находится в четвертой координатной четверти, где $\sin x \le 0$. На этом отрезке производная $y' = -\sin x \ge 0$ (причем $y'>0$ на $(-\frac{\pi}{2}; 0)$), что означает, что функция возрастает. Поскольку на части промежутка функция возрастает, весь промежуток не является промежутком убывания.

Ответ: не является.

Сравним этот промежуток с общей формулой для промежутков убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Если взять $k = 3$, то получим: $[2\pi(3), \pi + 2\pi(3)] = [6\pi, 7\pi]$. Данный промежуток полностью совпадает с одним из промежутков, где функция $y = \cos x$ убывает. На этом промежутке $\sin x \ge 0$, а значит $y' = -\sin x \le 0$.

Ответ: является.

18.8. Какие из данных промежутков являются промежутками возрастания функции $y = \cos x$:

1) $[-3\pi; -2\pi];$

2) $[0; \pi];$

3) $[-\pi; \pi];$

4) $[3\pi; 4\pi]?$

Для определения промежутков возрастания функции $y = \cos x$, необходимо найти интервалы, на которых её производная неотрицательна ($y' \ge 0$).

1. Найдём производную функции $y = \cos x$:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Решим неравенство $y' \ge 0$:

$-\sin x \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\sin x \le 0$

3. Неравенство $\sin x \le 0$ выполняется, когда угол $x$ находится в III и IV координатных четвертях, включая их границы. Общий вид таких промежутков: $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$ (является любым целым числом).

Теперь проверим каждый из предложенных промежутков.

1) $[-3\pi; -2\pi]$
Чтобы проверить, является ли этот промежуток промежутком возрастания, подставим в общую формулу $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$ целое число $n$.При $n = -2$:$[\pi + 2\pi(-2), 2\pi + 2\pi(-2)] = [\pi - 4\pi, 2\pi - 4\pi] = [-3\pi, -2\pi]$.Данный промежуток полностью совпадает с одним из промежутков возрастания функции.

Ответ: является промежутком возрастания.

2) $[0; \pi]$
На этом промежутке, для любого $x$ из интервала $(0, \pi)$, значение $\sin x > 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x < 0$. Это означает, что на промежутке $[0; \pi]$ функция $y = \cos x$ убывает.

Ответ: не является промежутком возрастания.

3) $[-\pi; \pi]$
Этот промежуток состоит из двух частей с разным поведением функции:

• На промежутке $[-\pi; 0]$: $\sin x \le 0$, следовательно $y' = -\sin x \ge 0$. Функция возрастает. (Это соответствует случаю $n=-1$ в общей формуле).
• На промежутке $[0; \pi]$: $\sin x \ge 0$, следовательно $y' = -\sin x \le 0$. Функция убывает.

Поскольку на одной части промежутка функция возрастает, а на другой убывает, весь промежуток $[-\pi; \pi]$ не является промежутком монотонного возрастания.

Ответ: не является промежутком возрастания.

4) $[3\pi; 4\pi]$
Снова проверим по общей формуле $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$.При $n = 1$:$[\pi + 2\pi(1), 2\pi + 2\pi(1)] = [3\pi, 4\pi]$.Данный промежуток также полностью совпадает с одним из промежутков возрастания функции.

Ответ: является промежутком возрастания.

18.9. Сравните:

1) $sin 20^\circ$ и $sin 21^\circ$;

2) $cos 20^\circ$ и $cos 21^\circ$;

3) $sin \frac{10\pi}{9}$ и $sin \frac{25\pi}{18}$;

4) $cos \frac{10\pi}{9}$ и $cos \frac{25\pi}{18}$;

5) $cos 5.1$ и $cos 5$;

6) $sin 2$ и $sin 2.1$.

1) Углы $20^\circ$ и $21^\circ$ принадлежат первой четверти ($0^\circ < x < 90^\circ$). На этом промежутке функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $20^\circ < 21^\circ$, то $\sin 20^\circ < \sin 21^\circ$.
Ответ: $\sin 20^\circ < \sin 21^\circ$.

2) Углы $20^\circ$ и $21^\circ$ принадлежат первой четверти ($0^\circ < x < 90^\circ$). На этом промежутке функция $y = \cos x$ убывает. Так как $20^\circ < 21^\circ$, то $\cos 20^\circ > \cos 21^\circ$.
Ответ: $\cos 20^\circ > \cos 21^\circ$.

3) Для сравнения $\sin \frac{10\pi}{9}$ и $\sin \frac{25\pi}{18}$ приведем углы к общему знаменателю: $\frac{10\pi}{9} = \frac{20\pi}{18}$.
Теперь нужно сравнить $\sin\frac{20\pi}{18}$ и $\sin\frac{25\pi}{18}$.
Оба угла находятся в третьей четверти, так как $\pi = \frac{18\pi}{18} < \frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18} < \frac{27\pi}{18} = \frac{3\pi}{2}$.
На промежутке $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает. Так как $\frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18}$, то $\sin\frac{20\pi}{18} > \sin\frac{25\pi}{18}$.
Ответ: $\sin\frac{10\pi}{9} > \sin\frac{25\pi}{18}$.

4) Для сравнения $\cos\frac{10\pi}{9}$ и $\cos\frac{25\pi}{18}$ приведем углы к общему знаменателю: $\frac{10\pi}{9} = \frac{20\pi}{18}$.
Сравниваем $\cos\frac{20\pi}{18}$ и $\cos\frac{25\pi}{18}$.
Оба угла находятся в третьей четверти ($\pi < x < \frac{3\pi}{2}$). На этом промежутке функция $y = \cos x$ возрастает (значения меняются от -1 до 0).
Так как $\frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18}$, то $\cos\frac{20\pi}{18} < \cos\frac{25\pi}{18}$.
Ответ: $\cos\frac{10\pi}{9} < \cos\frac{25\pi}{18}$.

5) Сравним значения углов 5,1 и 5 (в радианах). Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Определим, в какой четверти находятся углы:
$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$.
$2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$.
Так как $4,71 < 5 < 5,1 < 6,28$, оба угла принадлежат четвертой четверти ($ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $).
На этом промежутке функция $y = \cos x$ возрастает. Поскольку $5 < 5,1$, то $\cos 5 < \cos 5,1$.
Ответ: $\cos 5 < \cos 5,1$.

6) Сравним значения углов 2 и 2,1 (в радианах). Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Определим, в какой четверти находятся углы:
$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$.
$\pi \approx 3,14$.
Так как $1,57 < 2 < 2,1 < 3,14$, оба угла принадлежат второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < x < \pi $).
На этом промежутке функция $y = \sin x$ убывает. Поскольку $2 < 2,1$, то $\sin 2 > \sin 2,1$.
Ответ: $\sin 2 > \sin 2,1$.

18.10. Сравните:

1) $ \cos \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{4\pi}{9} $;

2) $ \sin \frac{5\pi}{9} $ и $ \sin \frac{17\pi}{18} $;

3) $ \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) $ и $ \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) $;

4) $ \cos \frac{10\pi}{7} $ и $ \cos \frac{11\pi}{9} $.

1) $\cos\frac{\pi}{9}$ и $\cos\frac{4\pi}{9}$

Для сравнения значений косинусов воспользуемся свойствами функции $y = \cos x$. Оба угла, $\frac{\pi}{9}$ и $\frac{4\pi}{9}$, принадлежат первой четверти, а точнее промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$, где функция косинус убывает. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы: $\frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9}$.
Так как функция косинуса на этом промежутке убывает, то из неравенства $\frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9}$ следует, что $\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{4\pi}{9}$.

Ответ: $\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{4\pi}{9}$.

2) $\sin\frac{5\pi}{9}$ и $\sin\frac{17\pi}{18}$

Для сравнения значений синусов рассмотрим их аргументы. Оба угла, $\frac{5\pi}{9}$ и $\frac{17\pi}{18}$, принадлежат второй четверти, то есть промежутку $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. На этом промежутке функция $y = \sin x$ убывает.
Приведем дроби к общему знаменателю 18, чтобы сравнить аргументы:
$\frac{5\pi}{9} = \frac{10\pi}{18}$.
Сравниваем $\frac{10\pi}{18}$ и $\frac{17\pi}{18}$. Очевидно, что $\frac{10\pi}{18} < \frac{17\pi}{18}$.
Поскольку функция синуса на данном промежутке убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\sin\frac{10\pi}{18} > \sin\frac{17\pi}{18}$.
Таким образом, $\sin\frac{5\pi}{9} > \sin\frac{17\pi}{18}$.

Ответ: $\sin\frac{5\pi}{9} > \sin\frac{17\pi}{18}$.

3) $\sin(-\frac{7\pi}{30})$ и $\sin(-\frac{3\pi}{10})$

Аргументы $-\frac{7\pi}{30}$ и $-\frac{3\pi}{10}$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ (четвертая четверть). На этом промежутке, как и на всем интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, функция $y = \sin x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$-\frac{3\pi}{10} = -\frac{9\pi}{30}$.
Сравним аргументы: так как $-9 < -7$, то $-\frac{9\pi}{30} < -\frac{7\pi}{30}$.
Поскольку функция синуса на этом промежутке возрастает, из неравенства $-\frac{9\pi}{30} < -\frac{7\pi}{30}$ следует, что $\sin(-\frac{9\pi}{30}) < \sin(-\frac{7\pi}{30})$.
Таким образом, $\sin(-\frac{3\pi}{10}) < \sin(-\frac{7\pi}{30})$.

Ответ: $\sin(-\frac{7\pi}{30}) > \sin(-\frac{3\pi}{10})$.

4) $\cos\frac{10\pi}{7}$ и $\cos\frac{11\pi}{9}$

Оба угла, $\frac{10\pi}{7}$ и $\frac{11\pi}{9}$, принадлежат третьей четверти, то есть промежутку $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$. На этом промежутке функция $y = \cos x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Приведем дроби к общему знаменателю 63:
$\frac{10\pi}{7} = \frac{90\pi}{63}$;
$\frac{11\pi}{9} = \frac{77\pi}{63}$.
Сравним аргументы: так как $77 < 90$, то $\frac{77\pi}{63} < \frac{90\pi}{63}$.
Поскольку функция косинуса на этом промежутке возрастает, из неравенства $\frac{77\pi}{63} < \frac{90\pi}{63}$ следует, что $\cos(\frac{77\pi}{63}) < \cos(\frac{90\pi}{63})$.
Таким образом, $\cos\frac{11\pi}{9} < \cos\frac{10\pi}{7}$.

Ответ: $\cos\frac{10\pi}{7} > \cos\frac{11\pi}{9}$.