Страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.11. Сравните:

1) $sin 58^\circ$ и $cos 58^\circ$;

2) $sin 18^\circ$ и $cos 18^\circ$;

3) $cos 80^\circ$ и $sin 70^\circ$.

1) sin 58° и cos 58°

Для сравнения значений $\sin 58°$ и $\cos 58°$ рассмотрим их поведение в первой четверти тригонометрической окружности. Мы знаем, что для угла $45°$ значения синуса и косинуса равны: $\sin 45° = \cos 45°$.

На промежутке от $0°$ до $90°$ функция $y = \sin x$ является возрастающей (с увеличением угла значение синуса растет), а функция $y = \cos x$ является убывающей (с увеличением угла значение косинуса падает).

Поскольку угол $58°$ больше, чем $45°$, то:
$\sin 58° > \sin 45°$
$\cos 58° < \cos 45°$

Так как $\sin 45° = \cos 45°$, мы можем объединить эти два неравенства и сделать вывод, что $\sin 58° > \cos 58°$.

Ответ: $\sin 58° > \cos 58°$.

2) sin 18° и cos 18°

Сравним $\sin 18°$ и $\cos 18°$. Аналогично первому пункту, используем в качестве точки отсчета угол $45°$. Угол $18°$ находится в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $(0°, 90°)$, а функция $y = \cos x$ на этом же интервале убывает.

Так как $18° < 45°$, то:
$\sin 18° < \sin 45°$
$\cos 18° > \cos 45°$

Учитывая, что $\sin 45° = \cos 45°$, получаем $\cos 18° > \sin 18°$.

Ответ: $\sin 18° < \cos 18°$.

3) cos 80° и sin 70°

Чтобы сравнить $\cos 80°$ и $\sin 70°$, необходимо привести их к одной тригонометрической функции. Для этого воспользуемся формулой приведения $\cos \alpha = \sin(90° - \alpha)$.

Применим эту формулу для $\cos 80°$:
$\cos 80° = \sin(90° - 80°) = \sin 10°$.

Теперь задача сводится к сравнению двух значений синуса: $\sin 10°$ и $\sin 70°$.

Оба угла, $10°$ и $70°$, находятся в первой четверти, где функция $y = \sin x$ возрастает. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса.

Поскольку $10° < 70°$, то $\sin 10° < \sin 70°$.

Заменив $\sin 10°$ обратно на $\cos 80°$, получаем итоговое неравенство: $\cos 80° < \sin 70°$.

Ответ: $\cos 80° < \sin 70°$.

18.12. Возможно ли равенство:

1) $ \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ $;

2) $ \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ $?

1) Чтобы данное равенство было возможным, значение выражения $2\sin 25^{\circ}$ должно принадлежать области значений функции $\cos \alpha$, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение выражения $2\sin 25^{\circ}$.

Известно, что функция синус возрастает на промежутке $[0^{\circ}; 90^{\circ}]$. Сравним $25^{\circ}$ с известным углом $30^{\circ}$:

$25^{\circ} < 30^{\circ}$

Следовательно, $\sin 25^{\circ} < \sin 30^{\circ}$.

Поскольку $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, получаем неравенство:

$\sin 25^{\circ} < \frac{1}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2:

$2\sin 25^{\circ} < 2 \cdot \frac{1}{2}$

$2\sin 25^{\circ} < 1$

Также, поскольку угол $25^{\circ}$ находится в первой четверти, $\sin 25^{\circ} > 0$, а значит, и $2\sin 25^{\circ} > 0$.

Таким образом, мы получили, что $0 < 2\sin 25^{\circ} < 1$.

Так как значение выражения $2\sin 25^{\circ}$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, который входит в отрезок $[-1; 1]$, то существует такой угол $\alpha$, для которого данное равенство будет верным.

Ответ: да, возможно.

2) Чтобы данное равенство было возможным, значение выражения $\sqrt{2}\cos 35^{\circ}$ должно принадлежать области значений функции $\sin \alpha$, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение выражения $\sqrt{2}\cos 35^{\circ}$.

Известно, что функция косинус убывает на промежутке $[0^{\circ}; 90^{\circ}]$. Сравним $35^{\circ}$ с известным углом $45^{\circ}$:

$35^{\circ} < 45^{\circ}$

Следовательно, $\cos 35^{\circ} > \cos 45^{\circ}$.

Поскольку $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем неравенство:

$\cos 35^{\circ} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} > 0$, знак неравенства сохраняется):

$\sqrt{2} \cdot \cos 35^{\circ} > \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}\cos 35^{\circ} > \frac{2}{2}$

$\sqrt{2}\cos 35^{\circ} > 1$

Значение выражения $\sqrt{2}\cos 35^{\circ}$ строго больше 1. Область значений функции $\sin \alpha$ — это отрезок $[-1; 1]$, поэтому $\sin \alpha$ не может быть больше 1. Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.

18.13. Постройте график функции:

1) $y = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) - 2;$

2) $y = -\frac{1}{2}\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right).$

1)

Для построения графика функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2$ будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$. Это синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, проходящая через начало координат. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. Выполняем сдвиг графика $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (OX). Аргумент $(x + \frac{\pi}{6})$ означает, что график нужно сдвинуть влево на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y_1 = \sin(x + \frac{\pi}{6})$. Ключевые точки смещаются: $(-\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, 1)$, $(\frac{5\pi}{6}, 0)$, $(\frac{4\pi}{3}, -1)$, $(\frac{11\pi}{6}, 0)$.

3. Выполняем сдвиг полученного графика $y_1 = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ вдоль оси ординат (OY). Вычитание 2 из функции означает, что график нужно сдвинуть вниз на 2 единицы. Получаем искомый график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2$. Ось симметрии синусоиды смещается на $y = -2$. Ключевые точки снова смещаются: $(-\frac{\pi}{6}, -2)$, $(\frac{\pi}{3}, -1)$, $(\frac{5\pi}{6}, -2)$, $(\frac{4\pi}{3}, -3)$, $(\frac{11\pi}{6}, -2)$.

Область значений функции: $[-1, 1]$ для $\sin(x + \frac{\pi}{6})$, следовательно, для $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2$ область значений будет $[-1-2, 1-2]$, то есть $[-3, -1]$.

Ответ: График функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{6}$ и сдвига вниз на 2.

2)

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$ будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$. Это косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Выполняем сдвиг графика $y = \cos(x)$ вдоль оси абсцисс (OX). Аргумент $(x - \frac{\pi}{6})$ означает, что график нужно сдвинуть вправо на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y_1 = \cos(x - \frac{\pi}{6})$. Ключевые точки смещаются: $(\frac{\pi}{6}, 1)$, $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, $(\frac{7\pi}{6}, -1)$, $(\frac{5\pi}{3}, 0)$, $(\frac{13\pi}{6}, 1)$.

3. Выполняем сжатие графика $y_1 = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ вдоль оси ординат (OY) с коэффициентом $\frac{1}{2}$. Получаем график функции $y_2 = \frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$. Амплитуда графика становится равной $\frac{1}{2}$. Ключевые точки теперь: $(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2})$, $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, $(\frac{7\pi}{6}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{5\pi}{3}, 0)$, $(\frac{13\pi}{6}, \frac{1}{2})$.

4. Выполняем зеркальное отражение графика $y_2 = \frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$ относительно оси абсцисс (OX). Это преобразование соответствует умножению функции на -1. Получаем искомый график функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$. Ключевые точки теперь: $(\frac{\pi}{6}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, $(\frac{7\pi}{6}, \frac{1}{2})$, $(\frac{5\pi}{3}, 0)$, $(\frac{13\pi}{6}, -\frac{1}{2})$.

Область значений функции: $[-1, 1]$ для $\cos(x - \frac{\pi}{6})$, следовательно, для $y = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$ область значений будет $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сдвига вправо на $\frac{\pi}{6}$, сжатия по вертикали в 2 раза и отражения относительно оси OX.

18.14. Постройте график функции:

1) $y = -3\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 1.$

1) $y = -3\sin(x - \frac{\pi}{3})$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y = \sin(x)$.
Это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ее ключевые точки на одном периоде: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

Шаг 2: Сдвиг по оси абсцисс (горизонтальный сдвиг).
Строим график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Аргумент $(x - \frac{\pi}{3})$ означает, что график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

Шаг 3: Растяжение по оси ординат и отражение.
Теперь преобразуем график $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ в график $y = -3\sin(x - \frac{\pi}{3})$. Коэффициент $-3$ перед синусом означает два преобразования:

• Растяжение графика вдоль оси Oy в 3 раза (амплитуда увеличивается с 1 до 3). Область значений становится $[-3, 3]$.
• Отражение графика относительно оси Ox из-за знака «минус».

Итоговый алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$.
2. Сдвигаем его вправо на $\frac{\pi}{3}$.
3. Растягиваем полученный график от оси Ox в 3 раза.
4. Отражаем результат относительно оси Ox.

Найдем ключевые точки для итогового графика:

• Начало периода (пересечение со средней линией $y=0$): $x - \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}$. Точка $(\frac{\pi}{3}, 0)$.
• Точка минимума (из-за отражения): $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{6}$. $y = -3\sin(\frac{\pi}{2}) = -3$. Точка $(\frac{5\pi}{6}, -3)$.
• Пересечение со средней линией: $x - \frac{\pi}{3} = \pi \implies x = \frac{4\pi}{3}$. Точка $(\frac{4\pi}{3}, 0)$.
• Точка максимума: $x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{11\pi}{6}$. $y = -3\sin(\frac{3\pi}{2}) = -3(-1) = 3$. Точка $(\frac{11\pi}{6}, 3)$.
• Конец периода: $x - \frac{\pi}{3} = 2\pi \implies x = \frac{7\pi}{3}$. Точка $(\frac{7\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = -3\sin(x - \frac{\pi}{3})$ является синусоидой с периодом $2\pi$, амплитудой 3, сдвинутой по оси Ox вправо на $\frac{\pi}{3}$ и отраженной относительно оси Ox. Область значений функции: $[-3, 3]$.

2) $y = \cos(x + \frac{\pi}{4}) - 1$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y = \cos(x)$.
Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ее ключевые точки на одном периоде: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

Шаг 2: Сдвиг по оси абсцисс (горизонтальный сдвиг).
Строим график функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$. Аргумент $(x + \frac{\pi}{4})$ означает, что график функции $y = \cos(x)$ необходимо сдвинуть влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.

Шаг 3: Сдвиг по оси ординат (вертикальный сдвиг).
Теперь преобразуем график $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$ в график $y = \cos(x + \frac{\pi}{4}) - 1$. Вычитание 1 из функции означает, что график необходимо сдвинуть вниз вдоль оси Oy на 1 единицу.

Итоговый алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.
2. Сдвигаем его влево на $\frac{\pi}{4}$.
3. Сдвигаем полученный график вниз на 1.

Найдем ключевые точки для итогового графика:

• Точка максимума: $x + \frac{\pi}{4} = 0 \implies x = -\frac{\pi}{4}$. $y = \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(-\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Пересечение со средней линией ($y=-1$): $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$. $y = \cos(\frac{\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка $(\frac{\pi}{4}, -1)$.
• Точка минимума: $x + \frac{\pi}{4} = \pi \implies x = \frac{3\pi}{4}$. $y = \cos(\pi) - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, -2)$.
• Пересечение со средней линией ($y=-1$): $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{4}$. $y = \cos(\frac{3\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка $(\frac{5\pi}{4}, -1)$.
• Следующий максимум: $x + \frac{\pi}{4} = 2\pi \implies x = \frac{7\pi}{4}$. $y = \cos(2\pi) - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(\frac{7\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{4}) - 1$ является косинусоидой с периодом $2\pi$, амплитудой 1, сдвинутой по оси Ox влево на $\frac{\pi}{4}$ и по оси Oy вниз на 1. Область значений функции: $[-2, 0]$.

18.15. Постройте график функции:

1) $y = (\\sqrt{\\sin x})^2;$

2) $y = \\sin x + \\sin |x|;$

3) $y = \\cos x + \\sqrt{\\cos^2 x};$

4) $y = \\sqrt{-\\sin^2 x};$

5) $y = \\sqrt{\\cos x - 1};$

6) $y = \\frac{\\sin x}{|\\sin x|}.$

18.16. Постройте график функции:

1) $y = (\\sqrt{\\cos x})^2$;

2) $y = \\sin x - \\sqrt{\\sin^2 x}$;

3) $y = \\sqrt{-\\cos^2 x}$;

4) $y = \\sqrt{\\sin x - 1}$;

5) $y = \\frac{|\\cos x|}{\\cos x}.`$

1) $y = (\sqrt{\cos x})^2$

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\cos x \ge 0$
Это неравенство выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На своей области определения функция упрощается: $y = (\sqrt{\cos x})^2 = \cos x$.
Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ на промежутках, где косинус неотрицателен. Это "шапки" косинусоиды, расположенные на оси Ox и выше неё.

Ответ: Графиком функции является часть графика функции $y = \cos x$ на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x}$

Область определения функции — все действительные числа, так как подкоренное выражение $\sin^2 x$ всегда неотрицательно.
Упростим функцию, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$y = \sin x - |\sin x|$
Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin x \ge 0$ (то есть для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x - \sin x = 0$.
2. Если $\sin x < 0$ (то есть для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x - (-\sin x) = 2\sin x$.
График состоит из отрезков оси Ox на промежутках, где синус неотрицателен, и частей графика $y = 2\sin x$ (синусоида с удвоенной амплитудой), где синус отрицателен.

Ответ: График функции совпадает с осью Ox на промежутках $[2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$, и с графиком функции $y = 2 \sin x$ на промежутках $(\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \sqrt{-\cos^2 x}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$-\cos^2 x \ge 0$
Поскольку $\cos^2 x \ge 0$ для любого $x$, то $-\cos^2 x \le 0$.
Следовательно, неравенство $-\cos^2 x \ge 0$ выполняется только в том случае, когда $-\cos^2 x = 0$, то есть $\cos x = 0$.
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для этих значений $x$ значение функции равно $y = \sqrt{0} = 0$.
Таким образом, график функции состоит из набора изолированных точек, лежащих на оси Ox.

Ответ: График функции представляет собой набор точек с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \sqrt{\sin x - 1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\sin x - 1 \ge 0 \Rightarrow \sin x \ge 1$
Поскольку область значений функции синуса $[-1, 1]$, единственное возможное значение, удовлетворяющее неравенству, это $\sin x = 1$.
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для этих значений $x$ значение функции равно $y = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.
Таким образом, график функции состоит из набора изолированных точек, лежащих на оси Ox.

Ответ: График функции представляет собой набор точек с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\cos x > 0$ (то есть для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$.
2. Если $\cos x < 0$ (то есть для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$.
График функции — это совокупность горизонтальных интервалов. На интервалах, где $\cos x > 0$, это прямая $y=1$. На интервалах, где $\cos x < 0$, это прямая $y=-1$. Точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются точками разрыва (на графике они изображаются "выколотыми" точками).

Ответ: График функции состоит из интервалов горизонтальной прямой $y=1$ на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ и интервалов прямой $y=-1$ на промежутках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

18.17. Постройте график функции, укажите область значений данной функции, её нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания; определите, какие наибольшее и наименьшее значения может принимать функция и при каких значениях аргумента:

1) $y = \sin x + 1;$

2) $y = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right);$

3) $y = \sin 2x;$

4) $y = -\frac{1}{2}\sin x.$

График функции: График данной функции получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Область значений: Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-1 + 1 \le \sin x + 1 \le 1 + 1$. Следовательно, область значений функции $E(y) = [0; 2]$.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
$\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1$.
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: Так как область значений функции $[0; 2]$, функция не принимает отрицательных значений ($y < 0$). Функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех значениях $x$, кроме тех, где $y=0$.
$y > 0$ при $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

Промежутки возрастания и убывания: Преобразование сдвига вверх не меняет характер монотонности функции. Промежутки возрастания и убывания совпадают с таковыми для $y = \sin x$.
Функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 2$ достигается, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = 0$ достигается, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Область значений: $[0; 2]$.
Нули функции: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; нет промежутков, где $y < 0$.
Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение $y_{max}=2$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min}=0$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

График функции: График данной функции получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox.

Область значений: Сдвиг по горизонтали не влияет на область значений. $E(y) = [-1; 1]$.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k \implies \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2\pi k \implies \frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Промежутки монотонности сдвигаются на $\frac{\pi}{4}$ вправо.
Функция возрастает, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies [\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 1$ достигается, когда $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1 \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -1$ достигается, когда $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -1 \implies x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Область значений: $[-1; 1]$.
Нули функции: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$; $y < 0$ на $(\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min}=-1$ при $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

График функции: График данной функции получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия в 2 раза к оси Oy. Период функции $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Область значений: Горизонтальное сжатие не влияет на область значений. $E(y) = [-1; 1]$.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
$\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k \implies \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\pi + 2\pi k < 2x < 2\pi + 2\pi k \implies \frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Интервалы монотонности сжимаются в 2 раза.
Функция возрастает, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies [-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies [\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 1$ достигается, когда $\sin 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -1$ достигается, когда $\sin 2x = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Область значений: $[-1; 1]$.
Нули функции: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$; $y < 0$ на $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min}=-1$ при $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

График функции: График данной функции получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия к оси Ox в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси Ox.

Область значений: Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2}\sin x \le -\frac{1}{2} \cdot (-1)$. Следовательно, $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
$-\frac{1}{2}\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $-\frac{1}{2}\sin x > 0 \implies \sin x < 0$. Это происходит на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $-\frac{1}{2}\sin x < 0 \implies \sin x > 0$. Это происходит на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Умножение на отрицательное число меняет характер монотонности на противоположный.
Функция возрастает там, где $y = \sin x$ убывает: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает там, где $y = \sin x$ возрастает: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = \frac{1}{2}$ достигается, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -\frac{1}{2}$ достигается, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Область значений: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.
Нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$; $y < 0$ на $(2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки возрастания: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение $y_{max}=\frac{1}{2}$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min}=-\frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

18.18. Постройте график функции; укажите область значений данной функции, её нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания; определите, какие наибольшее и наименьшее значения может принимать функция и при каких значениях аргумента:

1) $y = \cos x - 1$;

2) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = \cos \frac{x}{2}$;

4) $y = 3\cos x$.

1) $y = \cos x - 1$

Построение графика: График данной функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Область значений: Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Так как из косинуса вычитается 1, то область значений данной функции $E(y) = [-1-1; 1-1] = [-2; 0]$.

Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение $y = 0$:
$\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: Так как область значений функции $E(y) = [-2; 0]$, функция не принимает положительных значений ($y > 0$ нет решений). Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при всех значениях аргумента, кроме нулей функции.
$y < 0$ при $x \in \mathbb{R}$, $x \neq 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y = 0$ при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Промежутки монотонности совпадают с промежутками монотонности функции $y = \cos x$.
Функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение функции $y_{max} = 0$ достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение функции $y_{min} = -2$ достигается, когда $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область значений $E(y) = [-2; 0]$. Нули функции: $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Функция отрицательна при всех $x \neq 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, и нигде не положительна. Промежутки возрастания: $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Промежутки убывания: $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение $y_{max} = 0$ при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение $y_{min} = -2$ при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

Построение графика: График данной функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем сдвига на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси OX.

Область значений: Сдвиг по горизонтали не влияет на область значений. $E(y) = [-1; 1]$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$:
$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) > 0$. Это выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) < 0$. Это выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает, когда аргумент косинуса принадлежит промежуткам $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$.
$\pi + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi + 2\pi k \implies \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.
Функция убывает, когда аргумент косинуса принадлежит промежуткам $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$.
$2\pi k \le x + \frac{\pi}{3} \le \pi + 2\pi k \implies -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 1$ достигается при $x + \frac{\pi}{3} = 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -1$ достигается при $x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область значений $E(y) = [-1; 1]$. Нули функции: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. $y>0$ при $x \in \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k\right)$, $y<0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\right)$. Промежутки возрастания: $\left[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right]$. Промежутки убывания: $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right]$. Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Наименьшее значение $y_{min}=-1$ при $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \cos\frac{x}{2}$

Построение графика: График данной функции получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси OX в 2 раза. Период функции $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

Область значений: Растяжение по горизонтали не влияет на область значений. $E(y) = [-1; 1]$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$:
$\cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $\cos\frac{x}{2} > 0$. Это выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
$-\pi + 4\pi k < x < \pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\cos\frac{x}{2} < 0$. Это выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.
$\pi + 4\pi k < x < 3\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает, когда аргумент косинуса принадлежит промежуткам $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$.
$\pi + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le 2\pi + 2\pi k \implies 2\pi + 4\pi k \le x \le 4\pi + 4\pi k$.
Функция убывает, когда аргумент косинуса принадлежит промежуткам $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$.
$2\pi k \le \frac{x}{2} \le \pi + 2\pi k \implies 4\pi k \le x \le 2\pi + 4\pi k$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 1$ достигается при $\frac{x}{2} = 2\pi k \implies x = 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -1$ достигается при $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область значений $E(y) = [-1; 1]$. Нули функции: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. $y>0$ при $x \in (-\pi + 4\pi k; \pi + 4\pi k)$, $y<0$ при $x \in (\pi + 4\pi k; 3\pi + 4\pi k)$. Промежутки возрастания: $[2\pi + 4\pi k; 4\pi + 4\pi k]$. Промежутки убывания: $[4\pi k; 2\pi + 4\pi k]$. Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x = 4\pi k$. Наименьшее значение $y_{min}=-1$ при $x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = 3\cos x$

Построение графика: График данной функции получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси OY в 3 раза.

Область значений: Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. После умножения на 3, область значений данной функции $E(y) = [3 \cdot (-1); 3 \cdot 1] = [-3; 3]$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$:
$3\cos x = 0 \implies \cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: Знаки функции $y=3\cos x$ совпадают со знаками функции $y=\cos x$.
$y > 0$ при $\cos x > 0$, то есть при $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\cos x < 0$, то есть при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Промежутки монотонности совпадают с промежутками монотонности функции $y = \cos x$.
Функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение функции $y_{max} = 3$ достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение функции $y_{min} = -3$ достигается, когда $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область значений $E(y) = [-3; 3]$. Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. $y>0$ при $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$, $y<0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$. Промежутки возрастания: $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$. Промежутки убывания: $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$. Наибольшее значение $y_{max}=3$ при $x=2\pi k$. Наименьшее значение $y_{min}=-3$ при $x=\pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

18.19. Постройте график функции $y = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$.

Для построения графика функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ воспользуемся методом последовательных геометрических преобразований графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Сначала преобразуем данное уравнение к стандартному виду $y = A\sin(B(x-C)) + D$, чтобы явно видеть все параметры преобразования:

$y = 2\sin(2(x + \frac{\pi}{6})) - 1$

Отсюда мы можем определить параметры преобразований:

• $A=2$ – амплитуда (растяжение по оси Oy).
• $B=2$ – коэффициент, влияющий на период (сжатие по оси Ox).
• $C = -\frac{\pi}{6}$ – фазовый сдвиг (сдвиг по оси Ox влево).
• $D = -1$ – вертикальный сдвиг (сдвиг по оси Oy вниз).

Выполним построение графика по шагам.

Начнем с графика стандартной синусоиды. Это периодическая функция с периодом $T=2\pi$ и амплитудой, равной 1. Ее значения лежат в диапазоне от -1 до 1. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

Коэффициент $B=2$ перед $x$ означает, что график сжимается по горизонтали в 2 раза. Новый период функции будет $T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Все абсциссы ключевых точек графика $y=\sin(x)$ делятся на 2.

Множитель $A=2$ перед синусом означает, что график растягивается по вертикали в 2 раза. Амплитуда колебаний увеличивается до 2. Область значений функции становится $[-2, 2]$. Все ординаты ключевых точек графика $y=\sin(2x)$ умножаются на 2.

Прибавление $\frac{\pi}{6}$ к аргументу $x$ сдвигает график влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Чтобы найти новые координаты, из абсцисс ключевых точек графика $y=2\sin(2x)$ нужно вычесть $\frac{\pi}{6}$. Начало основного периода синусоиды смещается из точки $x=0$ в точку $x=-\frac{\pi}{6}$.

Вычитание 1 из функции сдвигает весь график на 1 единицу вниз. Средняя линия графика смещается с $y=0$ на $y=-1$. Область значений итоговой функции становится $[-2-1, 2-1]$, то есть $[-3, 1]$.

Сводка ключевых точек для построения итогового графика:

Найдем координаты ключевых точек для одного периода итоговой функции, пройдя все этапы преобразования. Исходные точки для $y=\sin(x)$: $(0,0), (\frac{\pi}{2},1), (\pi,0), (\frac{3\pi}{2},-1), (2\pi,0)$.

1. $y=\sin(2x)$: $(0,0), (\frac{\pi}{4},1), (\frac{\pi}{2},0), (\frac{3\pi}{4},-1), (\pi,0)$.
2. $y=2\sin(2x)$: $(0,0), (\frac{\pi}{4},2), (\frac{\pi}{2},0), (\frac{3\pi}{4},-2), (\pi,0)$.
3. $y=2\sin(2(x+\frac{\pi}{6}))$: $(-\frac{\pi}{6},0), (\frac{\pi}{12},2), (\frac{\pi}{3},0), (\frac{7\pi}{12},-2), (\frac{5\pi}{6},0)$.
4. $y=2\sin(2(x+\frac{\pi}{6}))-1$: $(-\frac{\pi}{6},-1), (\frac{\pi}{12},1), (\frac{\pi}{3},-1), (\frac{7\pi}{12},-3), (\frac{5\pi}{6},-1)$.

Также найдем точку пересечения графика с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение функции:

$y = 2\sin(\frac{\pi}{3}) - 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \sqrt{3} - 1 \approx 0.732$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, \sqrt{3}-1)$.

Ответ:График функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ является синусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T=\pi$.
• Амплитуда: $A=2$.
• Область значений: $E(y) = [-3, 1]$.
• Фазовый сдвиг: на $\frac{\pi}{6}$ влево относительно графика $y=2\sin(2x)$.
• Вертикальный сдвиг: на 1 вниз, средняя линия графика — прямая $y=-1$.

Для построения графика необходимо нанести на координатную плоскость ключевые точки одного периода, например, на отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$, и соединить их плавной кривой. Затем, используя периодичность, продолжить график в обе стороны.
Ключевые точки одного периода:

• Точки максимума: $(\frac{\pi}{12} + k\pi, 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ближайшая к началу координат — $(\frac{\pi}{12}, 1)$.
• Точки минимума: $(\frac{7\pi}{12} + k\pi, -3)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ближайшая к началу координат — $(\frac{7\pi}{12}, -3)$.
• Точки пересечения со средней линией $y=-1$: $(-\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, $(-\frac{\pi}{6}, -1)$, $(\frac{\pi}{3}, -1)$, $(\frac{5\pi}{6}, -1)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $(0, \sqrt{3}-1)$.

18.20. Постройте график функции $y = -3\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 2.$

Для построения графика функции $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$ выполним анализ ее параметров и применим последовательные геометрические преобразования к графику базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Анализ функции и определение параметров

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $y = A\sin(B(x-C)) + D$. Для этого в аргументе синуса вынесем за скобки коэффициент при $x$:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})$

Таким образом, функция принимает вид:

$y = -3\sin\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right) + 2$

Теперь определим параметры преобразований:

• Амплитуда и отражение: Коэффициент $A = -3$. Абсолютное значение амплитуды $|A| = 3$. Это означает, что график растянут в 3 раза по вертикали относительно своей средней линии. Знак «минус» указывает на симметричное отражение графика относительно горизонтальной оси (средней линии).
• Период: Коэффициент $B = \frac{1}{2}$. Период функции вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|B|}$. В нашем случае $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Это означает, что график растянут в 2 раза вдоль оси Ox по сравнению с графиком $y=\sin(x)$.
• Фазовый (горизонтальный) сдвиг: $C = \frac{\pi}{3}$. Так как из $x$ вычитается положительное число, это означает сдвиг графика вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.
• Вертикальный сдвиг: $D = 2$. Это означает сдвиг всего графика вверх по оси Oy на 2 единицы. Новая средняя линия графика — это прямая $y=2$.

2. Определение ключевых характеристик графика

• Средняя линия: $y = 2$.
• Область значений: График колеблется на 3 единицы вверх и вниз от средней линии $y=2$. Следовательно, максимальное значение функции равно $2+3=5$, а минимальное $2-3=-1$. Область значений: $E(y) = [-1, 5]$.
• Ключевые точки одного периода:

  Чтобы найти ключевые точки, проследим за преобразованием точек графика $y=\sin(x)$ на основном периоде $[0, 2\pi]$: $(0,0), (\frac{\pi}{2},1), (\pi,0), (\frac{3\pi}{2},-1), (2\pi,0)$.

  1. Растяжение по Ox в 2 раза ($x \rightarrow 2x$): $(0,0), (\pi,1), (2\pi,0), (3\pi,-1), (4\pi,0)$.
  2. Растяжение по Oy в 3 раза и отражение ($y \rightarrow -3y$): $(0,0), (\pi,-3), (2\pi,0), (3\pi,3), (4\pi,0)$.
  3. Сдвиг по Ox вправо на $\frac{\pi}{3}$ ($x \rightarrow x+\frac{\pi}{3}$): $(\frac{\pi}{3},0), (\pi+\frac{\pi}{3},-3), (2\pi+\frac{\pi}{3},0), (3\pi+\frac{\pi}{3},3), (4\pi+\frac{\pi}{3},0)$, что соответствует точкам $(\frac{\pi}{3},0), (\frac{4\pi}{3},-3), (\frac{7\pi}{3},0), (\frac{10\pi}{3},3), (\frac{13\pi}{3},0)$.
  4. Сдвиг по Oy вверх на 2 ($y \rightarrow y+2$): $(\frac{\pi}{3},2), (\frac{4\pi}{3},-1), (\frac{7\pi}{3},2), (\frac{10\pi}{3},5), (\frac{13\pi}{3},2)$.

  Это и есть ключевые точки для одного периода искомого графика. Точка $(\frac{\pi}{3}, 2)$ — начало периода на средней линии, $(\frac{4\pi}{3}, -1)$ — точка минимума, $(\frac{7\pi}{3}, 2)$ — пересечение со средней линией в середине периода, $(\frac{10\pi}{3}, 5)$ — точка максимума, $(\frac{13\pi}{3}, 2)$ — конец периода.

• Точка пересечения с осью Oy:

  Для нахождения точки пересечения с осью ординат подставим $x=0$ в уравнение функции:

  $y(0) = -3\sin(0 - \frac{\pi}{6}) + 2 = -3\sin(-\frac{\pi}{6}) + 2 = -3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{2} + 2 = 3.5$.

  Таким образом, график пересекает ось Oy в точке $(0, 3.5)$.

3. Построение графика

На координатной плоскости необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить пунктиром среднюю линию $y=2$.
2. Отметить верхнюю и нижнюю границы графика — прямые $y=5$ и $y=-1$.
3. На оси Ox отметить ключевые абсциссы: $\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}$.
4. Построить вычисленные ключевые точки: $(\frac{\pi}{3},2), (\frac{4\pi}{3},-1), (\frac{7\pi}{3},2), (\frac{10\pi}{3},5), (\frac{13\pi}{3},2)$.
5. Отметить точку пересечения с осью Oy: $(0, 3.5)$.
6. Соединить точки плавной синусоидальной кривой и периодически продолжить ее влево и вправо с периодом $4\pi$.

Ответ: График функции $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$ является синусоидой, полученной из графика $y=\sin(x)$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Ox, растяжения в 3 раза вдоль оси Oy, отражения относительно горизонтальной оси, сдвига вправо на $\frac{\pi}{3}$ и сдвига вверх на 2. Основные характеристики графика:

• Период: $T=4\pi$.
• Амплитуда: $3$.
• Средняя линия: $y=2$.
• Область значений: $E(y) = [-1, 5]$.
• Точки экстремумов на одном из периодов: минимум $(\frac{4\pi}{3}, -1)$ и максимум $(\frac{10\pi}{3}, 5)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3.5)$.