Номер 18.20, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.20. Постройте график функции $y = -3\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 2.$

Для построения графика функции $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$ выполним анализ ее параметров и применим последовательные геометрические преобразования к графику базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Анализ функции и определение параметров

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $y = A\sin(B(x-C)) + D$. Для этого в аргументе синуса вынесем за скобки коэффициент при $x$:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})$

Таким образом, функция принимает вид:

$y = -3\sin\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right) + 2$

Теперь определим параметры преобразований:

• Амплитуда и отражение: Коэффициент $A = -3$. Абсолютное значение амплитуды $|A| = 3$. Это означает, что график растянут в 3 раза по вертикали относительно своей средней линии. Знак «минус» указывает на симметричное отражение графика относительно горизонтальной оси (средней линии).
• Период: Коэффициент $B = \frac{1}{2}$. Период функции вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|B|}$. В нашем случае $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Это означает, что график растянут в 2 раза вдоль оси Ox по сравнению с графиком $y=\sin(x)$.
• Фазовый (горизонтальный) сдвиг: $C = \frac{\pi}{3}$. Так как из $x$ вычитается положительное число, это означает сдвиг графика вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.
• Вертикальный сдвиг: $D = 2$. Это означает сдвиг всего графика вверх по оси Oy на 2 единицы. Новая средняя линия графика — это прямая $y=2$.

2. Определение ключевых характеристик графика

• Средняя линия: $y = 2$.
• Область значений: График колеблется на 3 единицы вверх и вниз от средней линии $y=2$. Следовательно, максимальное значение функции равно $2+3=5$, а минимальное $2-3=-1$. Область значений: $E(y) = [-1, 5]$.
• Ключевые точки одного периода:

  Чтобы найти ключевые точки, проследим за преобразованием точек графика $y=\sin(x)$ на основном периоде $[0, 2\pi]$: $(0,0), (\frac{\pi}{2},1), (\pi,0), (\frac{3\pi}{2},-1), (2\pi,0)$.

  1. Растяжение по Ox в 2 раза ($x \rightarrow 2x$): $(0,0), (\pi,1), (2\pi,0), (3\pi,-1), (4\pi,0)$.
  2. Растяжение по Oy в 3 раза и отражение ($y \rightarrow -3y$): $(0,0), (\pi,-3), (2\pi,0), (3\pi,3), (4\pi,0)$.
  3. Сдвиг по Ox вправо на $\frac{\pi}{3}$ ($x \rightarrow x+\frac{\pi}{3}$): $(\frac{\pi}{3},0), (\pi+\frac{\pi}{3},-3), (2\pi+\frac{\pi}{3},0), (3\pi+\frac{\pi}{3},3), (4\pi+\frac{\pi}{3},0)$, что соответствует точкам $(\frac{\pi}{3},0), (\frac{4\pi}{3},-3), (\frac{7\pi}{3},0), (\frac{10\pi}{3},3), (\frac{13\pi}{3},0)$.
  4. Сдвиг по Oy вверх на 2 ($y \rightarrow y+2$): $(\frac{\pi}{3},2), (\frac{4\pi}{3},-1), (\frac{7\pi}{3},2), (\frac{10\pi}{3},5), (\frac{13\pi}{3},2)$.

  Это и есть ключевые точки для одного периода искомого графика. Точка $(\frac{\pi}{3}, 2)$ — начало периода на средней линии, $(\frac{4\pi}{3}, -1)$ — точка минимума, $(\frac{7\pi}{3}, 2)$ — пересечение со средней линией в середине периода, $(\frac{10\pi}{3}, 5)$ — точка максимума, $(\frac{13\pi}{3}, 2)$ — конец периода.

• Точка пересечения с осью Oy:

  Для нахождения точки пересечения с осью ординат подставим $x=0$ в уравнение функции:

  $y(0) = -3\sin(0 - \frac{\pi}{6}) + 2 = -3\sin(-\frac{\pi}{6}) + 2 = -3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{2} + 2 = 3.5$.

  Таким образом, график пересекает ось Oy в точке $(0, 3.5)$.

3. Построение графика

На координатной плоскости необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить пунктиром среднюю линию $y=2$.
2. Отметить верхнюю и нижнюю границы графика — прямые $y=5$ и $y=-1$.
3. На оси Ox отметить ключевые абсциссы: $\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}$.
4. Построить вычисленные ключевые точки: $(\frac{\pi}{3},2), (\frac{4\pi}{3},-1), (\frac{7\pi}{3},2), (\frac{10\pi}{3},5), (\frac{13\pi}{3},2)$.
5. Отметить точку пересечения с осью Oy: $(0, 3.5)$.
6. Соединить точки плавной синусоидальной кривой и периодически продолжить ее влево и вправо с периодом $4\pi$.

Ответ: График функции $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$ является синусоидой, полученной из графика $y=\sin(x)$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Ox, растяжения в 3 раза вдоль оси Oy, отражения относительно горизонтальной оси, сдвига вправо на $\frac{\pi}{3}$ и сдвига вверх на 2. Основные характеристики графика:

• Период: $T=4\pi$.
• Амплитуда: $3$.
• Средняя линия: $y=2$.
• Область значений: $E(y) = [-1, 5]$.
• Точки экстремумов на одном из периодов: минимум $(\frac{4\pi}{3}, -1)$ и максимум $(\frac{10\pi}{3}, 5)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3.5)$.