Номер 18.16, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 18. Свойства и графики функций у = sin x и у = cos х. Упражнения - номер 18.16, страница 142.

Условие.

18.16. Постройте график функции:

1) $y = (\\sqrt{\\cos x})^2$;

2) $y = \\sin x - \\sqrt{\\sin^2 x}$;

3) $y = \\sqrt{-\\cos^2 x}$;

4) $y = \\sqrt{\\sin x - 1}$;

5) $y = \\frac{|\\cos x|}{\\cos x}.`$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $y = (\sqrt{\cos x})^2$

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\cos x \ge 0$
Это неравенство выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На своей области определения функция упрощается: $y = (\sqrt{\cos x})^2 = \cos x$.
Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ на промежутках, где косинус неотрицателен. Это "шапки" косинусоиды, расположенные на оси Ox и выше неё.

Ответ: Графиком функции является часть графика функции $y = \cos x$ на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x}$

Область определения функции — все действительные числа, так как подкоренное выражение $\sin^2 x$ всегда неотрицательно.
Упростим функцию, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$y = \sin x - |\sin x|$
Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin x \ge 0$ (то есть для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x - \sin x = 0$.
2. Если $\sin x < 0$ (то есть для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x - (-\sin x) = 2\sin x$.
График состоит из отрезков оси Ox на промежутках, где синус неотрицателен, и частей графика $y = 2\sin x$ (синусоида с удвоенной амплитудой), где синус отрицателен.

Ответ: График функции совпадает с осью Ox на промежутках $[2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$, и с графиком функции $y = 2 \sin x$ на промежутках $(\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \sqrt{-\cos^2 x}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$-\cos^2 x \ge 0$
Поскольку $\cos^2 x \ge 0$ для любого $x$, то $-\cos^2 x \le 0$.
Следовательно, неравенство $-\cos^2 x \ge 0$ выполняется только в том случае, когда $-\cos^2 x = 0$, то есть $\cos x = 0$.
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для этих значений $x$ значение функции равно $y = \sqrt{0} = 0$.
Таким образом, график функции состоит из набора изолированных точек, лежащих на оси Ox.

Ответ: График функции представляет собой набор точек с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \sqrt{\sin x - 1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\sin x - 1 \ge 0 \Rightarrow \sin x \ge 1$
Поскольку область значений функции синуса $[-1, 1]$, единственное возможное значение, удовлетворяющее неравенству, это $\sin x = 1$.
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для этих значений $x$ значение функции равно $y = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.
Таким образом, график функции состоит из набора изолированных точек, лежащих на оси Ox.

Ответ: График функции представляет собой набор точек с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\cos x > 0$ (то есть для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$.
2. Если $\cos x < 0$ (то есть для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$.
График функции — это совокупность горизонтальных интервалов. На интервалах, где $\cos x > 0$, это прямая $y=1$. На интервалах, где $\cos x < 0$, это прямая $y=-1$. Точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются точками разрыва (на графике они изображаются "выколотыми" точками).

Ответ: График функции состоит из интервалов горизонтальной прямой $y=1$ на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ и интервалов прямой $y=-1$ на промежутках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.