Номер 18.14, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.14. Постройте график функции:

1) $y = -3\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 1.$

1) $y = -3\sin(x - \frac{\pi}{3})$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y = \sin(x)$.
Это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ее ключевые точки на одном периоде: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

Шаг 2: Сдвиг по оси абсцисс (горизонтальный сдвиг).
Строим график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Аргумент $(x - \frac{\pi}{3})$ означает, что график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

Шаг 3: Растяжение по оси ординат и отражение.
Теперь преобразуем график $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ в график $y = -3\sin(x - \frac{\pi}{3})$. Коэффициент $-3$ перед синусом означает два преобразования:

• Растяжение графика вдоль оси Oy в 3 раза (амплитуда увеличивается с 1 до 3). Область значений становится $[-3, 3]$.
• Отражение графика относительно оси Ox из-за знака «минус».

Итоговый алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$.
2. Сдвигаем его вправо на $\frac{\pi}{3}$.
3. Растягиваем полученный график от оси Ox в 3 раза.
4. Отражаем результат относительно оси Ox.

Найдем ключевые точки для итогового графика:

• Начало периода (пересечение со средней линией $y=0$): $x - \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}$. Точка $(\frac{\pi}{3}, 0)$.
• Точка минимума (из-за отражения): $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{6}$. $y = -3\sin(\frac{\pi}{2}) = -3$. Точка $(\frac{5\pi}{6}, -3)$.
• Пересечение со средней линией: $x - \frac{\pi}{3} = \pi \implies x = \frac{4\pi}{3}$. Точка $(\frac{4\pi}{3}, 0)$.
• Точка максимума: $x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{11\pi}{6}$. $y = -3\sin(\frac{3\pi}{2}) = -3(-1) = 3$. Точка $(\frac{11\pi}{6}, 3)$.
• Конец периода: $x - \frac{\pi}{3} = 2\pi \implies x = \frac{7\pi}{3}$. Точка $(\frac{7\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = -3\sin(x - \frac{\pi}{3})$ является синусоидой с периодом $2\pi$, амплитудой 3, сдвинутой по оси Ox вправо на $\frac{\pi}{3}$ и отраженной относительно оси Ox. Область значений функции: $[-3, 3]$.

2) $y = \cos(x + \frac{\pi}{4}) - 1$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y = \cos(x)$.
Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ее ключевые точки на одном периоде: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

Шаг 2: Сдвиг по оси абсцисс (горизонтальный сдвиг).
Строим график функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$. Аргумент $(x + \frac{\pi}{4})$ означает, что график функции $y = \cos(x)$ необходимо сдвинуть влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.

Шаг 3: Сдвиг по оси ординат (вертикальный сдвиг).
Теперь преобразуем график $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$ в график $y = \cos(x + \frac{\pi}{4}) - 1$. Вычитание 1 из функции означает, что график необходимо сдвинуть вниз вдоль оси Oy на 1 единицу.

Итоговый алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.
2. Сдвигаем его влево на $\frac{\pi}{4}$.
3. Сдвигаем полученный график вниз на 1.

Найдем ключевые точки для итогового графика:

• Точка максимума: $x + \frac{\pi}{4} = 0 \implies x = -\frac{\pi}{4}$. $y = \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(-\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Пересечение со средней линией ($y=-1$): $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$. $y = \cos(\frac{\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка $(\frac{\pi}{4}, -1)$.
• Точка минимума: $x + \frac{\pi}{4} = \pi \implies x = \frac{3\pi}{4}$. $y = \cos(\pi) - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, -2)$.
• Пересечение со средней линией ($y=-1$): $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{4}$. $y = \cos(\frac{3\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка $(\frac{5\pi}{4}, -1)$.
• Следующий максимум: $x + \frac{\pi}{4} = 2\pi \implies x = \frac{7\pi}{4}$. $y = \cos(2\pi) - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(\frac{7\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{4}) - 1$ является косинусоидой с периодом $2\pi$, амплитудой 1, сдвинутой по оси Ox влево на $\frac{\pi}{4}$ и по оси Oy вниз на 1. Область значений функции: $[-2, 0]$.