Номер 18.13, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.13. Постройте график функции:

1) $y = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) - 2;$

2) $y = -\frac{1}{2}\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right).$

1)

Для построения графика функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2$ будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$. Это синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, проходящая через начало координат. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. Выполняем сдвиг графика $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (OX). Аргумент $(x + \frac{\pi}{6})$ означает, что график нужно сдвинуть влево на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y_1 = \sin(x + \frac{\pi}{6})$. Ключевые точки смещаются: $(-\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, 1)$, $(\frac{5\pi}{6}, 0)$, $(\frac{4\pi}{3}, -1)$, $(\frac{11\pi}{6}, 0)$.

3. Выполняем сдвиг полученного графика $y_1 = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ вдоль оси ординат (OY). Вычитание 2 из функции означает, что график нужно сдвинуть вниз на 2 единицы. Получаем искомый график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2$. Ось симметрии синусоиды смещается на $y = -2$. Ключевые точки снова смещаются: $(-\frac{\pi}{6}, -2)$, $(\frac{\pi}{3}, -1)$, $(\frac{5\pi}{6}, -2)$, $(\frac{4\pi}{3}, -3)$, $(\frac{11\pi}{6}, -2)$.

Область значений функции: $[-1, 1]$ для $\sin(x + \frac{\pi}{6})$, следовательно, для $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2$ область значений будет $[-1-2, 1-2]$, то есть $[-3, -1]$.

Ответ: График функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{6}$ и сдвига вниз на 2.

2)

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$ будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$. Это косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Выполняем сдвиг графика $y = \cos(x)$ вдоль оси абсцисс (OX). Аргумент $(x - \frac{\pi}{6})$ означает, что график нужно сдвинуть вправо на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y_1 = \cos(x - \frac{\pi}{6})$. Ключевые точки смещаются: $(\frac{\pi}{6}, 1)$, $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, $(\frac{7\pi}{6}, -1)$, $(\frac{5\pi}{3}, 0)$, $(\frac{13\pi}{6}, 1)$.

3. Выполняем сжатие графика $y_1 = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ вдоль оси ординат (OY) с коэффициентом $\frac{1}{2}$. Получаем график функции $y_2 = \frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$. Амплитуда графика становится равной $\frac{1}{2}$. Ключевые точки теперь: $(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2})$, $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, $(\frac{7\pi}{6}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{5\pi}{3}, 0)$, $(\frac{13\pi}{6}, \frac{1}{2})$.

4. Выполняем зеркальное отражение графика $y_2 = \frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$ относительно оси абсцисс (OX). Это преобразование соответствует умножению функции на -1. Получаем искомый график функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$. Ключевые точки теперь: $(\frac{\pi}{6}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, $(\frac{7\pi}{6}, \frac{1}{2})$, $(\frac{5\pi}{3}, 0)$, $(\frac{13\pi}{6}, -\frac{1}{2})$.

Область значений функции: $[-1, 1]$ для $\cos(x - \frac{\pi}{6})$, следовательно, для $y = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$ область значений будет $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сдвига вправо на $\frac{\pi}{6}$, сжатия по вертикали в 2 раза и отражения относительно оси OX.