Номер 18.8, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.8. Какие из данных промежутков являются промежутками возрастания функции $y = \cos x$:

1) $[-3\pi; -2\pi];$

2) $[0; \pi];$

3) $[-\pi; \pi];$

4) $[3\pi; 4\pi]?$

Для определения промежутков возрастания функции $y = \cos x$, необходимо найти интервалы, на которых её производная неотрицательна ($y' \ge 0$).

1. Найдём производную функции $y = \cos x$:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Решим неравенство $y' \ge 0$:

$-\sin x \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\sin x \le 0$

3. Неравенство $\sin x \le 0$ выполняется, когда угол $x$ находится в III и IV координатных четвертях, включая их границы. Общий вид таких промежутков: $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$ (является любым целым числом).

Теперь проверим каждый из предложенных промежутков.

1) $[-3\pi; -2\pi]$
Чтобы проверить, является ли этот промежуток промежутком возрастания, подставим в общую формулу $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$ целое число $n$.При $n = -2$:$[\pi + 2\pi(-2), 2\pi + 2\pi(-2)] = [\pi - 4\pi, 2\pi - 4\pi] = [-3\pi, -2\pi]$.Данный промежуток полностью совпадает с одним из промежутков возрастания функции.

Ответ: является промежутком возрастания.

2) $[0; \pi]$
На этом промежутке, для любого $x$ из интервала $(0, \pi)$, значение $\sin x > 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x < 0$. Это означает, что на промежутке $[0; \pi]$ функция $y = \cos x$ убывает.

Ответ: не является промежутком возрастания.

3) $[-\pi; \pi]$
Этот промежуток состоит из двух частей с разным поведением функции:

• На промежутке $[-\pi; 0]$: $\sin x \le 0$, следовательно $y' = -\sin x \ge 0$. Функция возрастает. (Это соответствует случаю $n=-1$ в общей формуле).
• На промежутке $[0; \pi]$: $\sin x \ge 0$, следовательно $y' = -\sin x \le 0$. Функция убывает.

Поскольку на одной части промежутка функция возрастает, а на другой убывает, весь промежуток $[-\pi; \pi]$ не является промежутком монотонного возрастания.

Ответ: не является промежутком возрастания.

4) $[3\pi; 4\pi]$
Снова проверим по общей формуле $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$.При $n = 1$:$[\pi + 2\pi(1), 2\pi + 2\pi(1)] = [3\pi, 4\pi]$.Данный промежуток также полностью совпадает с одним из промежутков возрастания функции.

Ответ: является промежутком возрастания.