Номер 18.12, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.12. Возможно ли равенство:

1) $ \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ $;

2) $ \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ $?

1) Чтобы данное равенство было возможным, значение выражения $2\sin 25^{\circ}$ должно принадлежать области значений функции $\cos \alpha$, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение выражения $2\sin 25^{\circ}$.

Известно, что функция синус возрастает на промежутке $[0^{\circ}; 90^{\circ}]$. Сравним $25^{\circ}$ с известным углом $30^{\circ}$:

$25^{\circ} < 30^{\circ}$

Следовательно, $\sin 25^{\circ} < \sin 30^{\circ}$.

Поскольку $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, получаем неравенство:

$\sin 25^{\circ} < \frac{1}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2:

$2\sin 25^{\circ} < 2 \cdot \frac{1}{2}$

$2\sin 25^{\circ} < 1$

Также, поскольку угол $25^{\circ}$ находится в первой четверти, $\sin 25^{\circ} > 0$, а значит, и $2\sin 25^{\circ} > 0$.

Таким образом, мы получили, что $0 < 2\sin 25^{\circ} < 1$.

Так как значение выражения $2\sin 25^{\circ}$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, который входит в отрезок $[-1; 1]$, то существует такой угол $\alpha$, для которого данное равенство будет верным.

Ответ: да, возможно.

2) Чтобы данное равенство было возможным, значение выражения $\sqrt{2}\cos 35^{\circ}$ должно принадлежать области значений функции $\sin \alpha$, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение выражения $\sqrt{2}\cos 35^{\circ}$.

Известно, что функция косинус убывает на промежутке $[0^{\circ}; 90^{\circ}]$. Сравним $35^{\circ}$ с известным углом $45^{\circ}$:

$35^{\circ} < 45^{\circ}$

Следовательно, $\cos 35^{\circ} > \cos 45^{\circ}$.

Поскольку $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем неравенство:

$\cos 35^{\circ} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} > 0$, знак неравенства сохраняется):

$\sqrt{2} \cdot \cos 35^{\circ} > \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}\cos 35^{\circ} > \frac{2}{2}$

$\sqrt{2}\cos 35^{\circ} > 1$

Значение выражения $\sqrt{2}\cos 35^{\circ}$ строго больше 1. Область значений функции $\sin \alpha$ — это отрезок $[-1; 1]$, поэтому $\sin \alpha$ не может быть больше 1. Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.