Номер 18.11, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.11. Сравните:

1) $sin 58^\circ$ и $cos 58^\circ$;

2) $sin 18^\circ$ и $cos 18^\circ$;

3) $cos 80^\circ$ и $sin 70^\circ$.

1) sin 58° и cos 58°

Для сравнения значений $\sin 58°$ и $\cos 58°$ рассмотрим их поведение в первой четверти тригонометрической окружности. Мы знаем, что для угла $45°$ значения синуса и косинуса равны: $\sin 45° = \cos 45°$.

На промежутке от $0°$ до $90°$ функция $y = \sin x$ является возрастающей (с увеличением угла значение синуса растет), а функция $y = \cos x$ является убывающей (с увеличением угла значение косинуса падает).

Поскольку угол $58°$ больше, чем $45°$, то:
$\sin 58° > \sin 45°$
$\cos 58° < \cos 45°$

Так как $\sin 45° = \cos 45°$, мы можем объединить эти два неравенства и сделать вывод, что $\sin 58° > \cos 58°$.

Ответ: $\sin 58° > \cos 58°$.

2) sin 18° и cos 18°

Сравним $\sin 18°$ и $\cos 18°$. Аналогично первому пункту, используем в качестве точки отсчета угол $45°$. Угол $18°$ находится в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $(0°, 90°)$, а функция $y = \cos x$ на этом же интервале убывает.

Так как $18° < 45°$, то:
$\sin 18° < \sin 45°$
$\cos 18° > \cos 45°$

Учитывая, что $\sin 45° = \cos 45°$, получаем $\cos 18° > \sin 18°$.

Ответ: $\sin 18° < \cos 18°$.

3) cos 80° и sin 70°

Чтобы сравнить $\cos 80°$ и $\sin 70°$, необходимо привести их к одной тригонометрической функции. Для этого воспользуемся формулой приведения $\cos \alpha = \sin(90° - \alpha)$.

Применим эту формулу для $\cos 80°$:
$\cos 80° = \sin(90° - 80°) = \sin 10°$.

Теперь задача сводится к сравнению двух значений синуса: $\sin 10°$ и $\sin 70°$.

Оба угла, $10°$ и $70°$, находятся в первой четверти, где функция $y = \sin x$ возрастает. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса.

Поскольку $10° < 70°$, то $\sin 10° < \sin 70°$.

Заменив $\sin 10°$ обратно на $\cos 80°$, получаем итоговое неравенство: $\cos 80° < \sin 70°$.

Ответ: $\cos 80° < \sin 70°$.