Номер 18.10, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.10. Сравните:

1) $ \cos \frac{\pi}{9} $ и $ \cos \frac{4\pi}{9} $;

2) $ \sin \frac{5\pi}{9} $ и $ \sin \frac{17\pi}{18} $;

3) $ \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) $ и $ \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) $;

4) $ \cos \frac{10\pi}{7} $ и $ \cos \frac{11\pi}{9} $.

1) $\cos\frac{\pi}{9}$ и $\cos\frac{4\pi}{9}$

Для сравнения значений косинусов воспользуемся свойствами функции $y = \cos x$. Оба угла, $\frac{\pi}{9}$ и $\frac{4\pi}{9}$, принадлежат первой четверти, а точнее промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$, где функция косинус убывает. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы: $\frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9}$.
Так как функция косинуса на этом промежутке убывает, то из неравенства $\frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9}$ следует, что $\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{4\pi}{9}$.

Ответ: $\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{4\pi}{9}$.

2) $\sin\frac{5\pi}{9}$ и $\sin\frac{17\pi}{18}$

Для сравнения значений синусов рассмотрим их аргументы. Оба угла, $\frac{5\pi}{9}$ и $\frac{17\pi}{18}$, принадлежат второй четверти, то есть промежутку $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. На этом промежутке функция $y = \sin x$ убывает.
Приведем дроби к общему знаменателю 18, чтобы сравнить аргументы:
$\frac{5\pi}{9} = \frac{10\pi}{18}$.
Сравниваем $\frac{10\pi}{18}$ и $\frac{17\pi}{18}$. Очевидно, что $\frac{10\pi}{18} < \frac{17\pi}{18}$.
Поскольку функция синуса на данном промежутке убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\sin\frac{10\pi}{18} > \sin\frac{17\pi}{18}$.
Таким образом, $\sin\frac{5\pi}{9} > \sin\frac{17\pi}{18}$.

Ответ: $\sin\frac{5\pi}{9} > \sin\frac{17\pi}{18}$.

3) $\sin(-\frac{7\pi}{30})$ и $\sin(-\frac{3\pi}{10})$

Аргументы $-\frac{7\pi}{30}$ и $-\frac{3\pi}{10}$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ (четвертая четверть). На этом промежутке, как и на всем интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, функция $y = \sin x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$-\frac{3\pi}{10} = -\frac{9\pi}{30}$.
Сравним аргументы: так как $-9 < -7$, то $-\frac{9\pi}{30} < -\frac{7\pi}{30}$.
Поскольку функция синуса на этом промежутке возрастает, из неравенства $-\frac{9\pi}{30} < -\frac{7\pi}{30}$ следует, что $\sin(-\frac{9\pi}{30}) < \sin(-\frac{7\pi}{30})$.
Таким образом, $\sin(-\frac{3\pi}{10}) < \sin(-\frac{7\pi}{30})$.

Ответ: $\sin(-\frac{7\pi}{30}) > \sin(-\frac{3\pi}{10})$.

4) $\cos\frac{10\pi}{7}$ и $\cos\frac{11\pi}{9}$

Оба угла, $\frac{10\pi}{7}$ и $\frac{11\pi}{9}$, принадлежат третьей четверти, то есть промежутку $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$. На этом промежутке функция $y = \cos x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Приведем дроби к общему знаменателю 63:
$\frac{10\pi}{7} = \frac{90\pi}{63}$;
$\frac{11\pi}{9} = \frac{77\pi}{63}$.
Сравним аргументы: так как $77 < 90$, то $\frac{77\pi}{63} < \frac{90\pi}{63}$.
Поскольку функция косинуса на этом промежутке возрастает, из неравенства $\frac{77\pi}{63} < \frac{90\pi}{63}$ следует, что $\cos(\frac{77\pi}{63}) < \cos(\frac{90\pi}{63})$.
Таким образом, $\cos\frac{11\pi}{9} < \cos\frac{10\pi}{7}$.

Ответ: $\cos\frac{10\pi}{7} > \cos\frac{11\pi}{9}$.