Номер 18.18, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.18. Постройте график функции; укажите область значений данной функции, её нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания; определите, какие наибольшее и наименьшее значения может принимать функция и при каких значениях аргумента:

1) $y = \cos x - 1$;

2) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = \cos \frac{x}{2}$;

4) $y = 3\cos x$.

1) $y = \cos x - 1$

Построение графика: График данной функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Область значений: Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Так как из косинуса вычитается 1, то область значений данной функции $E(y) = [-1-1; 1-1] = [-2; 0]$.

Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение $y = 0$:
$\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: Так как область значений функции $E(y) = [-2; 0]$, функция не принимает положительных значений ($y > 0$ нет решений). Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при всех значениях аргумента, кроме нулей функции.
$y < 0$ при $x \in \mathbb{R}$, $x \neq 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y = 0$ при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Промежутки монотонности совпадают с промежутками монотонности функции $y = \cos x$.
Функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение функции $y_{max} = 0$ достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение функции $y_{min} = -2$ достигается, когда $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область значений $E(y) = [-2; 0]$. Нули функции: $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Функция отрицательна при всех $x \neq 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, и нигде не положительна. Промежутки возрастания: $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Промежутки убывания: $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение $y_{max} = 0$ при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение $y_{min} = -2$ при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

Построение графика: График данной функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем сдвига на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси OX.

Область значений: Сдвиг по горизонтали не влияет на область значений. $E(y) = [-1; 1]$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$:
$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) > 0$. Это выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) < 0$. Это выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает, когда аргумент косинуса принадлежит промежуткам $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$.
$\pi + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi + 2\pi k \implies \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.
Функция убывает, когда аргумент косинуса принадлежит промежуткам $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$.
$2\pi k \le x + \frac{\pi}{3} \le \pi + 2\pi k \implies -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 1$ достигается при $x + \frac{\pi}{3} = 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -1$ достигается при $x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область значений $E(y) = [-1; 1]$. Нули функции: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. $y>0$ при $x \in \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k\right)$, $y<0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\right)$. Промежутки возрастания: $\left[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right]$. Промежутки убывания: $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right]$. Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Наименьшее значение $y_{min}=-1$ при $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \cos\frac{x}{2}$

Построение графика: График данной функции получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси OX в 2 раза. Период функции $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

Область значений: Растяжение по горизонтали не влияет на область значений. $E(y) = [-1; 1]$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$:
$\cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $\cos\frac{x}{2} > 0$. Это выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
$-\pi + 4\pi k < x < \pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\cos\frac{x}{2} < 0$. Это выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.
$\pi + 4\pi k < x < 3\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает, когда аргумент косинуса принадлежит промежуткам $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$.
$\pi + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le 2\pi + 2\pi k \implies 2\pi + 4\pi k \le x \le 4\pi + 4\pi k$.
Функция убывает, когда аргумент косинуса принадлежит промежуткам $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$.
$2\pi k \le \frac{x}{2} \le \pi + 2\pi k \implies 4\pi k \le x \le 2\pi + 4\pi k$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 1$ достигается при $\frac{x}{2} = 2\pi k \implies x = 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -1$ достигается при $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область значений $E(y) = [-1; 1]$. Нули функции: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. $y>0$ при $x \in (-\pi + 4\pi k; \pi + 4\pi k)$, $y<0$ при $x \in (\pi + 4\pi k; 3\pi + 4\pi k)$. Промежутки возрастания: $[2\pi + 4\pi k; 4\pi + 4\pi k]$. Промежутки убывания: $[4\pi k; 2\pi + 4\pi k]$. Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x = 4\pi k$. Наименьшее значение $y_{min}=-1$ при $x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = 3\cos x$

Построение графика: График данной функции получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси OY в 3 раза.

Область значений: Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. После умножения на 3, область значений данной функции $E(y) = [3 \cdot (-1); 3 \cdot 1] = [-3; 3]$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$:
$3\cos x = 0 \implies \cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: Знаки функции $y=3\cos x$ совпадают со знаками функции $y=\cos x$.
$y > 0$ при $\cos x > 0$, то есть при $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\cos x < 0$, то есть при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Промежутки монотонности совпадают с промежутками монотонности функции $y = \cos x$.
Функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение функции $y_{max} = 3$ достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение функции $y_{min} = -3$ достигается, когда $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область значений $E(y) = [-3; 3]$. Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. $y>0$ при $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$, $y<0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$. Промежутки возрастания: $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$. Промежутки убывания: $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$. Наибольшее значение $y_{max}=3$ при $x=2\pi k$. Наименьшее значение $y_{min}=-3$ при $x=\pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.