Номер 1, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Перечислите основные свойства функции $y = \operatorname{tg}x$.

Функция $y = \text{tg}\,x$ является одной из основных тригонометрических функций, определяемой как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Рассмотрим её основные свойства.

1. Область определения

Функция тангенса определена для всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель $\cos x$ не равен нулю. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Следовательно, эти точки необходимо исключить из области определения.

Ответ: Область определения $D(y)$ — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z} \}$.

2. Область значений

Когда угол $x$ приближается к значениям $\frac{\pi}{2} + \pi k$, значение $\sin x$ стремится к $\pm 1$, а $\cos x$ стремится к нулю. В результате их отношение может принимать любые сколь угодно большие по модулю значения, как положительные, так и отрицательные. Таким образом, функция тангенса не ограничена ни сверху, ни снизу.

Ответ: Область значений $E(y)$ — множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Периодичность

Функция тангенса является периодической. Используя формулы приведения, можно показать, что $\text{tg}(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \text{tg}\,x$. Наименьший положительный период функции равен $\pi$.

Ответ: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.

4. Четность

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$: $\text{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\text{tg}\,x$. Так как выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Функция является нечетной.

5. Нули функции

Значение функции равно нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $\text{tg}\,x = 0$ при $\sin x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\cos x = \pm 1 \neq 0$, поэтому они являются нулями функции.

Ответ: Нули функции (точки пересечения графика с осью Ox) находятся в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства

Знак тангенса зависит от знаков синуса и косинуса.
- $y > 0$ ($\text{tg}\,x > 0$), когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III координатных четвертях, то есть на интервалах $(\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
- $y < 0$ ($\text{tg}\,x < 0$), когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют разные знаки. Это происходит во II и IV координатных четвертях, то есть на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; $y < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания)

Производная функции $y = \text{tg}\,x$ равна $y' = (\text{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Так как $\cos^2 x > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y'$ всегда положительна. Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: Функция строго возрастает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. Промежутков убывания у функции нет.

8. Асимптоты

В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где функция не определена, ее график имеет вертикальные асимптоты. При приближении $x$ к этим значениям, модуль значения функции неограниченно возрастает ($y \to \pm \infty$).

Ответ: Прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, являются вертикальными асимптотами графика функции.