Номер 19.5, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.5. Сравните:

1) tg $(-38^{\circ})$ и tg $(-42^{\circ})$;

2) tg $\frac{2\pi}{5}$ и tg $\frac{7\pi}{15}$;

3) tg $130^{\circ}$ и tg $150^{\circ}$;

4) tg $0,9\pi$ и tg $1,2\pi$;

5) tg $1$ и tg $1,5$;

6) ctg $24^{\circ}$ и ctg $28^{\circ}$;

7) ctg $\frac{\pi}{7}$ и ctg $\frac{3\pi}{7}$;

8) ctg $(-40^{\circ})$ и ctg $(-60^{\circ})$;

9) ctg $0,4\pi$ и ctg $1,4\pi$;

10) ctg $2$ и ctg $3$.

1) Сравним $\operatorname{tg}(-38^\circ)$ и $\operatorname{tg}(-42^\circ)$. Функция $y = \operatorname{tg}(x)$ является нечетной, то есть $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$, и возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то есть на $(-90^\circ; 90^\circ)$. Оба угла, $-38^\circ$ и $-42^\circ$, принадлежат этому интервалу. Поскольку $-38^\circ > -42^\circ$, и функция на этом интервале возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $\operatorname{tg}(-38^\circ) > \operatorname{tg}(-42^\circ)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(-38^\circ) > \operatorname{tg}(-42^\circ)$.

2) Сравним $\operatorname{tg}\frac{2\pi}{5}$ и $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{15}$. Для сравнения аргументов приведем их к общему знаменателю: $\frac{2\pi}{5} = \frac{6\pi}{15}$. Теперь задача сводится к сравнению $\operatorname{tg}\frac{6\pi}{15}$ и $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{15}$. Оба угла, $\frac{6\pi}{15}$ и $\frac{7\pi}{15}$, находятся в первой четверти, то есть в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \operatorname{tg}(x)$ возрастает. Так как $\frac{7\pi}{15} > \frac{6\pi}{15}$, то $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{15} > \operatorname{tg}\frac{6\pi}{15}$.
Ответ: $\operatorname{tg}\frac{2\pi}{5} < \operatorname{tg}\frac{7\pi}{15}$.

3) Сравним $\operatorname{tg}(130^\circ)$ и $\operatorname{tg}(150^\circ)$. Углы $130^\circ$ и $150^\circ$ принадлежат второй четверти, интервалу $(90^\circ, 180^\circ)$. Этот интервал является частью интервала $(90^\circ, 270^\circ)$, на котором функция $y = \operatorname{tg}(x)$ строго возрастает. Поскольку $150^\circ > 130^\circ$, то из свойства возрастания функции следует, что $\operatorname{tg}(150^\circ) > \operatorname{tg}(130^\circ)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(130^\circ) < \operatorname{tg}(150^\circ)$.

4) Сравним $\operatorname{tg}(0,9\pi)$ и $\operatorname{tg}(1,2\pi)$. Определим, в каких четвертях находятся углы. Угол $0,9\pi$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть во второй четверти. Значение тангенса в этой четверти отрицательно: $\operatorname{tg}(0,9\pi) < 0$. Угол $1,2\pi$ находится в интервале $(\pi; \frac{3\pi}{2})$, то есть в третьей четверти. Значение тангенса в этой четверти положительно: $\operatorname{tg}(1,2\pi) > 0$. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\operatorname{tg}(1,2\pi) > \operatorname{tg}(0,9\pi)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(0,9\pi) < \operatorname{tg}(1,2\pi)$.

5) Сравним $\operatorname{tg}(1)$ и $\operatorname{tg}(1,5)$. Аргументы даны в радианах. Учитывая, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, оба угла, 1 и 1,5, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция $y = \operatorname{tg}(x)$ возрастает. Так как $1,5 > 1$, то $\operatorname{tg}(1,5) > \operatorname{tg}(1)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(1) < \operatorname{tg}(1,5)$.

6) Сравним $\operatorname{ctg}(24^\circ)$ и $\operatorname{ctg}(28^\circ)$. Функция $y = \operatorname{ctg}(x)$ является убывающей на интервале $(0; \pi)$, то есть на $(0^\circ; 180^\circ)$. Оба угла, $24^\circ$ и $28^\circ$, принадлежат этому интервалу. Поскольку $28^\circ > 24^\circ$, а функция на этом интервале убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\operatorname{ctg}(28^\circ) < \operatorname{ctg}(24^\circ)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(24^\circ) > \operatorname{ctg}(28^\circ)$.

7) Сравним $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{7}$ и $\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{7}$. Оба угла, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{7}$, принадлежат интервалу $(0; \pi)$. На этом интервале функция $y = \operatorname{ctg}(x)$ убывает. Сравним аргументы: $\frac{3\pi}{7} > \frac{\pi}{7}$. Поскольку функция убывает, $\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{7} < \operatorname{ctg}\frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{7} > \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{7}$.

8) Сравним $\operatorname{ctg}(-40^\circ)$ и $\operatorname{ctg}(-60^\circ)$. Функция $y = \operatorname{ctg}(x)$ является убывающей на интервале $(-\pi; 0)$, то есть на $(-180^\circ; 0^\circ)$. Оба угла, $-40^\circ$ и $-60^\circ$, принадлежат этому интервалу. Сравним аргументы: $-40^\circ > -60^\circ$. Поскольку функция котангенса на этом интервале убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\operatorname{ctg}(-40^\circ) < \operatorname{ctg}(-60^\circ)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(-40^\circ) < \operatorname{ctg}(-60^\circ)$.

9) Сравним $\operatorname{ctg}(0,4\pi)$ и $\operatorname{ctg}(1,4\pi)$. Функция котангенс имеет период $\pi$. Это означает, что $\operatorname{ctg}(x + \pi n) = \operatorname{ctg}(x)$ для любого целого $n$. Представим $1,4\pi$ как $0,4\pi + \pi$. Тогда $\operatorname{ctg}(1,4\pi) = \operatorname{ctg}(0,4\pi + \pi) = \operatorname{ctg}(0,4\pi)$. Значения функций равны.
Ответ: $\operatorname{ctg}(0,4\pi) = \operatorname{ctg}(1,4\pi)$.

10) Сравним $\operatorname{ctg}(2)$ и $\operatorname{ctg}(3)$. Аргументы даны в радианах. Учитывая, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, оба угла, 2 и 3, принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \pi)$. Этот интервал является частью интервала $(0; \pi)$, на котором функция $y = \operatorname{ctg}(x)$ убывает. Сравним аргументы: $3 > 2$. Поскольку функция убывает, $\operatorname{ctg}(3) < \operatorname{ctg}(2)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(2) > \operatorname{ctg}(3)$.