Номер 19.7, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.7. Постройте график функции:

1) $y = -\text{tg } x;$

2) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

3) $y = \text{tg } 3x.$

1) $y = -\tg x$

Для построения графика функции $y = -\tg x$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Базовый график. График функции $y = \tg x$ (тангенсоида) представляет собой совокупность ветвей, разделенных вертикальными асимптотами.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти значения $x$ являются вертикальными асимптотами.
• Период функции: $T = \pi$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция является нечетной и возрастающей на каждом интервале области определения.
• Контрольные точки для одной ветви на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$: $(-\frac{\pi}{4}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$.

2. Преобразование. График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). В нашем случае $f(x) = \tg x$.

3. Построение графика $y = -\tg x$.

• Отражаем график $y = \tg x$ относительно оси Ox.
• Асимптоты остаются прежними: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции также не меняются: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Поскольку функция $y = \tg x$ возрастающая, то после отражения функция $y = -\tg x$ становится убывающей на каждом интервале области определения.
• Контрольные точки для $y = -\tg x$ получаются изменением знака ординаты: $(-\frac{\pi}{4}, -(-1)) = (-\frac{\pi}{4}, 1)$, $(0, -0) = (0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, -1)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -\tg x$, нужно построить график функции $y = \tg x$ и отразить его симметрично относительно оси Ox. В результате возрастающие ветви тангенсоиды станут убывающими.

2) $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$

Для построения графика функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Базовый график. Используем график $y = \tg x$ с его основными свойствами, перечисленными в предыдущем пункте.

2. Преобразование. График функции $y = f(x-a)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (оси Ox). В нашем случае $a = \frac{\pi}{4}$. Поскольку $a > 0$, сдвиг происходит вправо на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

3. Построение графика $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

• Сдвигаем график $y = \tg x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.
• Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ смещаются вправо и становятся $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции $x = \pi k$ смещаются вправо и становятся $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Центр симметрии, который для $y = \tg x$ был в точке $(0, 0)$, теперь находится в точке $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Контрольные точки также сдвигаются: $(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}, -1) = (0, -1)$, $(0+\frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}, 1) = (\frac{\pi}{2}, 1)$.
• Период функции не изменяется и остается равным $\pi$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$, нужно построить график $y = \tg x$ и сдвинуть его вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.

3) $y = \tg 3x$

Для построения графика функции $y = \tg 3x$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Базовый график. Используем график $y = \tg x$ с его основными свойствами.

2. Преобразование. График функции $y = f(kx)$ получается из графика $y = f(x)$ путем горизонтального сжатия или растяжения. В нашем случае $k = 3$. Поскольку $|k| > 1$, происходит сжатие графика к оси ординат (оси Oy) в 3 раза.

3. Построение графика $y = \tg 3x$.

• Выполняем сжатие графика $y = \tg x$ к оси Oy в 3 раза.
• Период функции изменяется. Новый период $T' = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{3}$.
• Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ сжимаются к оси Oy. Их новое положение находится из условия $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции $x = \pi k$ также сжимаются. Новые нули находятся из условия $3x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Точка $(0, 0)$ остается на месте.
• Контрольные точки сжимаются по горизонтали: точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ на графике $y=\tg x$ переходит в точку $(\frac{\pi}{12}, 1)$ на графике $y = \tg 3x$, так как $3 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$. Аналогично, $(-\frac{\pi}{4}, -1)$ переходит в $(-\frac{\pi}{12}, -1)$. Ветви графика становятся "круче".

Ответ: Чтобы построить график функции $y = \tg 3x$, нужно построить график $y = \tg x$ и сжать его по горизонтали к оси Oy в 3 раза. Период функции уменьшится в 3 раза и станет равен $\frac{\pi}{3}$.