Номер 19.9, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.9. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \frac{2}{3} \operatorname{tg} 80^{\circ}$;

2) $\cos \alpha = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{18}$;

3) $\cos \alpha = \operatorname{tg} \frac{\pi}{9}$?

1) Чтобы равенство $\sin \alpha = \frac{2}{3} \tg 80^\circ$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения в правой части принадлежало области значений функции синус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение правой части. Угол $80^\circ$ принадлежит первой четверти, где тангенс положителен и является возрастающей функцией. Мы знаем, что $\tg 45^\circ = 1$. Так как $80^\circ > 45^\circ$, то $\tg 80^\circ > \tg 45^\circ = 1$. Более того, $\tg 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1,732$. Поскольку $80^\circ > 60^\circ$, то $\tg 80^\circ > \sqrt{3}$.

Тогда для правой части равенства имеем оценку:

$\frac{2}{3} \tg 80^\circ > \frac{2}{3} \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Так как $\sqrt{3} > \frac{3}{2}$ (потому что $3 > \frac{9}{4}$), то $\frac{2\sqrt{3}}{3} > \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$.

Следовательно, значение выражения $\frac{2}{3} \tg 80^\circ$ больше 1. Поскольку значение $\sin \alpha$ не может превышать 1, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.

2) Чтобы равенство $\cos \alpha = \ctg \frac{\pi}{18}$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения в правой части принадлежало области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение правой части. Переведем угол из радиан в градусы: $\frac{\pi}{18} \text{ рад} = \frac{180^\circ}{18} = 10^\circ$.

Таким образом, нам нужно оценить $\ctg 10^\circ$. Угол $10^\circ$ принадлежит первой четверти, где котангенс положителен и является убывающей функцией. Мы знаем, что $\ctg 45^\circ = 1$. Так как $10^\circ < 45^\circ$, то $\ctg 10^\circ > \ctg 45^\circ = 1$.

Следовательно, значение выражения $\ctg \frac{\pi}{18}$ больше 1. Поскольку значение $\cos \alpha$ не может превышать 1, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.

3) Чтобы равенство $\cos \alpha = \tg \frac{\pi}{9}$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения в правой части принадлежало области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение правой части. Переведем угол из радиан в градусы: $\frac{\pi}{9} \text{ рад} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$.

Таким образом, нам нужно оценить $\tg 20^\circ$. Угол $20^\circ$ принадлежит первой четверти, где тангенс положителен и является возрастающей функцией. Мы знаем, что $\tg 0^\circ = 0$ и $\tg 45^\circ = 1$. Так как $0^\circ < 20^\circ < 45^\circ$, то выполняется неравенство $\tg 0^\circ < \tg 20^\circ < \tg 45^\circ$, то есть $0 < \tg 20^\circ < 1$.

Значение выражения $\tg \frac{\pi}{9}$ находится в интервале $(0; 1)$, который полностью входит в отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого данное равенство выполняется (например, $\alpha = \arccos(\tg \frac{\pi}{9})$).

Ответ: да, возможно.