Номер 19.16, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.16. Какие три числа надо вставить между числами 256 и 1, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$. По условию, нам нужно вставить три числа между числами 256 и 1. Это означает, что 256 является первым членом прогрессии, а 1 — пятым, так как между ними находятся еще три члена.

Итак, мы имеем:
Первый член прогрессии: $b_1 = 256$.
Пятый член прогрессии: $b_5 = 1$.
Количество членов прогрессии: $n=5$.
Искомые числа — это второй, третий и четвертый члены прогрессии: $b_2, b_3, b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Воспользуемся этой формулой для нахождения знаменателя $q$. Подставим известные нам значения в формулу для пятого члена:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$1 = 256 \cdot q^4$

Выразим отсюда $q^4$:
$q^4 = \frac{1}{256}$

Теперь необходимо извлечь корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень четной степени из положительного числа имеет два действительных решения: положительное и отрицательное.
$q = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{256}}$

Так как $256 = 4^4$, то $\sqrt[4]{256} = 4$. Следовательно, знаменатель прогрессии:
$q = \pm\frac{1}{4}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии, а значит, существуют и два возможных набора искомых чисел. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $q = \frac{1}{4}$
Последовательно находим члены прогрессии, умножая каждый предыдущий член на $q$:
$b_2 = b_1 \cdot q = 256 \cdot \frac{1}{4} = 64$
$b_3 = b_2 \cdot q = 64 \cdot \frac{1}{4} = 16$
$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$
Таким образом, первый набор чисел: 64, 16, 4. Прогрессия выглядит так: 256, 64, 16, 4, 1.

Случай 2: $q = -\frac{1}{4}$
Аналогично находим члены прогрессии для отрицательного знаменателя:
$b_2 = b_1 \cdot q = 256 \cdot (-\frac{1}{4}) = -64$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-64) \cdot (-\frac{1}{4}) = 16$
$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot (-\frac{1}{4}) = -4$
Таким образом, второй набор чисел: -64, 16, -4. Прогрессия выглядит так: 256, -64, 16, -4, 1.

Ответ: Существует два набора таких чисел: 64, 16, 4 и -64, 16, -4.