Страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.14. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\text{tg} x})^2$;

2) $y = \text{ctg} x - \text{ctg}|x|$;

3) $y = \sqrt{-\text{ctg}^2 x}$;

4) $y = \frac{|\text{tg} x|}{\text{tg} x}$;

5) $y = \text{tg} x + \sqrt{\text{tg}^2 x}$;

6) $y = |\text{ctg} x|$.

1) $y = (\sqrt{\operatorname{tg} x})^2$

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\operatorname{tg} x \ge 0$.
Тангенс неотрицателен в первой и третьей координатных четвертях, что соответствует промежуткам $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
На этих промежутках функция упрощается: $y = (\sqrt{\operatorname{tg} x})^2 = \operatorname{tg} x$.
Следовательно, график данной функции — это части графика функции $y = \operatorname{tg} x$, которые лежат на указанных промежутках.
Ответ: График функции представляет собой совокупность ветвей графика $y = \operatorname{tg} x$ на интервалах $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg}|x|$

Область определения функции задается условиями $x \neq \pi n$ и $|x| \neq \pi k$ для $n, k \in \mathbb{Z}$. Это эквивалентно условию $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая, раскрывая модуль:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$. Графиком является луч оси Ox ($y=0$) при $x > 0$, с выколотыми точками $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{N}$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg}(-x)$. Так как котангенс — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), получаем: $y = \operatorname{ctg} x - (-\operatorname{ctg} x) = 2\operatorname{ctg} x$. Графиком является график функции $y=2\operatorname{ctg} x$ для $x < 0$.
Ответ: График состоит из двух частей: для $x>0$ это луч $y=0$ с выколотыми точками $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{N}$; для $x<0$ это график функции $y=2\operatorname{ctg} x$.

3) $y = \sqrt{-\operatorname{ctg}^2 x}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение неотрицательно: $-\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$.
Поскольку $\operatorname{ctg}^2 x = (\operatorname{ctg} x)^2 \ge 0$ для всех $x$ из области определения котангенса, то $-\operatorname{ctg}^2 x \le 0$.
Единственная возможность, когда условие $-\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$ выполняется, — это когда $-\operatorname{ctg}^2 x = 0$, то есть $\operatorname{ctg} x = 0$.
Котангенс равен нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
При этих значениях $x$ функция принимает значение $y = \sqrt{-0^2} = 0$.
Таким образом, график состоит из набора изолированных точек.
Ответ: График функции представляет собой бесконечный набор точек на оси Ox с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \frac{|\operatorname{tg} x|}{\operatorname{tg} x}$

Функция определена при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $\operatorname{tg} x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Также сам тангенс должен быть определен, т.е. $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\operatorname{tg} x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$, и функция равна $y = \frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x} = 1$.
2. Если $\operatorname{tg} x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$, и функция равна $y = \frac{-\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x} = -1$.
График состоит из горизонтальных интервалов.
Ответ: График функции — это совокупность интервалов прямых $y=1$ на промежутках $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ и прямых $y=-1$ на промежутках $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5) $y = \operatorname{tg} x + \sqrt{\operatorname{tg}^2 x}$

Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, упростим функцию: $y = \operatorname{tg} x + |\operatorname{tg} x|$.
Область определения функции совпадает с областью определения $\operatorname{tg} x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\operatorname{tg} x \ge 0$, что соответствует промежуткам $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x$.
2. Если $\operatorname{tg} x < 0$, что соответствует промежуткам $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$.
Ответ: График функции состоит из двух чередующихся частей: 1) график $y=2\operatorname{tg} x$ на промежутках $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$; 2) отрезки оси абсцисс $y=0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6) $y = |\operatorname{ctg} x|$

Чтобы построить график функции $y = |\operatorname{ctg} x|$, нужно сначала построить график $y = \operatorname{ctg} x$.
Область определения: $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Правило построения графика $y=|f(x)|$: части графика $f(x)$, расположенные выше оси Ox и на ней, остаются без изменений, а части, расположенные ниже оси Ox, симметрично отражаются относительно оси Ox.
Таким образом, ветви графика $y=\operatorname{ctg} x$, где $\operatorname{ctg} x \ge 0$ (на интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n]$), остаются на месте.
Ветви графика, где $\operatorname{ctg} x < 0$ (на интервалах $(\frac{\pi}{2}+\pi n, \pi(n+1))$), отражаются вверх относительно оси абсцисс.
В результате весь график будет находиться в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).
Ответ: График функции $y = |\operatorname{ctg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ путем отражения частей графика, лежащих под осью Ox, в верхнюю полуплоскость. Части графика, лежащие над осью Ox, остаются без изменений.

19.15. Между числами -4 и 5 вставьте пять таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

Пусть искомые числа вместе с данными числами $-4$ и $5$ образуют арифметическую прогрессию $(a_n)$.

В этой прогрессии первый член $a_1 = -4$. Поскольку между $-4$ и $5$ нужно вставить пять чисел, то общее количество членов в прогрессии будет $1 + 5 + 1 = 7$. Таким образом, число $5$ является седьмым членом прогрессии, то есть $a_7 = 5$.

Для нахождения вставленных чисел необходимо сначала определить разность арифметической прогрессии $d$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в эту формулу известные нам значения $a_1 = -4$, $a_7 = 5$ и $n = 7$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$5 = -4 + 6d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:

$6d = 5 - (-4)$

$6d = 9$

$d = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь, зная первый член $a_1 = -4$ и разность $d = 1.5$, мы можем последовательно найти пять чисел, которые нужно вставить. Это будут члены прогрессии со второго по шестой:

$a_2 = a_1 + d = -4 + 1.5 = -2.5$

$a_3 = a_2 + d = -2.5 + 1.5 = -1$

$a_4 = a_3 + d = -1 + 1.5 = 0.5$

$a_5 = a_4 + d = 0.5 + 1.5 = 2$

$a_6 = a_5 + d = 2 + 1.5 = 3.5$

Проверим, что седьмой член действительно равен 5: $a_7 = a_6 + d = 3.5 + 1.5 = 5$. Расчеты верны.

Таким образом, полная арифметическая прогрессия выглядит так: $-4; -2.5; -1; 0.5; 2; 3.5; 5$.

Ответ: $-2.5; -1; 0.5; 2; 3.5$.

19.16. Какие три числа надо вставить между числами 256 и 1, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$. По условию, нам нужно вставить три числа между числами 256 и 1. Это означает, что 256 является первым членом прогрессии, а 1 — пятым, так как между ними находятся еще три члена.

Итак, мы имеем:
Первый член прогрессии: $b_1 = 256$.
Пятый член прогрессии: $b_5 = 1$.
Количество членов прогрессии: $n=5$.
Искомые числа — это второй, третий и четвертый члены прогрессии: $b_2, b_3, b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Воспользуемся этой формулой для нахождения знаменателя $q$. Подставим известные нам значения в формулу для пятого члена:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$1 = 256 \cdot q^4$

Выразим отсюда $q^4$:
$q^4 = \frac{1}{256}$

Теперь необходимо извлечь корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень четной степени из положительного числа имеет два действительных решения: положительное и отрицательное.
$q = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{256}}$

Так как $256 = 4^4$, то $\sqrt[4]{256} = 4$. Следовательно, знаменатель прогрессии:
$q = \pm\frac{1}{4}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии, а значит, существуют и два возможных набора искомых чисел. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $q = \frac{1}{4}$
Последовательно находим члены прогрессии, умножая каждый предыдущий член на $q$:
$b_2 = b_1 \cdot q = 256 \cdot \frac{1}{4} = 64$
$b_3 = b_2 \cdot q = 64 \cdot \frac{1}{4} = 16$
$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$
Таким образом, первый набор чисел: 64, 16, 4. Прогрессия выглядит так: 256, 64, 16, 4, 1.

Случай 2: $q = -\frac{1}{4}$
Аналогично находим члены прогрессии для отрицательного знаменателя:
$b_2 = b_1 \cdot q = 256 \cdot (-\frac{1}{4}) = -64$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-64) \cdot (-\frac{1}{4}) = 16$
$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot (-\frac{1}{4}) = -4$
Таким образом, второй набор чисел: -64, 16, -4. Прогрессия выглядит так: 256, -64, 16, -4, 1.

Ответ: Существует два набора таких чисел: 64, 16, 4 и -64, 16, -4.