Страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.12. Докажите тождество:

1) $\sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha;$

2) $\text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha;$

3) $1 + (\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha)\cos^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha.$

1) Докажем тождество $ \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Вынесем за скобки общий множитель $ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $:

$ \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) $.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Подставим это значение в выражение:

$ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Используем определение котангенса: $ \text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

$ \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha $.

Вынесем общий множитель $ \cos^2 \alpha $ за скобки:

$ \cos^2 \alpha \left( \frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1 \right) $.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \cos^2 \alpha \left( \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \right) $.

Применим основное тригонометрическое тождество $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha \left( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \right) $.

Заменяем дробь $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $ обратно на $ \text{ctg}^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha $.

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $ 1 + (\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha)\cos^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Для начала раскроем скобки:

$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $ и $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

$ 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha $.

Упростим полученное выражение:

$ 1 + \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \sin^2 \alpha $.

Сгруппируем первое и третье слагаемые. Согласно основному тригонометрическому тождеству $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $:

$ (1 - \sin^2 \alpha) + \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha + \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $ \sin^2 \alpha $:

$ \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ \cos^2 \alpha $:

$ \frac{\cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} $.

Так как $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, выражение упрощается:

$ \frac{\cos^2 \alpha \cdot 1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Полученное выражение по определению равно $ \text{ctg}^2 \alpha $.

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

20.13. Докажите тождество:

1) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^6 \alpha - \cos^6 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha;$

2) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1.$

1) Для доказательства тождества $ \sin⁴α + \cos⁴α - \sin⁶α - \cos⁶α = \sin²α \cos²α $ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые:

$ (\sin⁴α - \sin⁶α) + (\cos⁴α - \cos⁶α) $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \sin⁴α(1 - \sin²α) + \cos⁴α(1 - \cos²α) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin²α + \cos²α = 1 $. Из него следуют соотношения: $ 1 - \sin²α = \cos²α $ и $ 1 - \cos²α = \sin²α $. Подставим их в наше выражение:

$ \sin⁴α \cdot \cos²α + \cos⁴α \cdot \sin²α $

Теперь вынесем за скобки общий множитель $ \sin²α \cos²α $:

$ \sin²α \cos²α (\sin²α + \cos²α) $

Снова применяем основное тригонометрическое тождество $ \sin²α + \cos²α = 1 $:

$ \sin²α \cos²α \cdot 1 = \sin²α \cos²α $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Для доказательства тождества $ \sin⁶α + \cos⁶α + 3\sin²α \cos²α = 1 $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$ \sin²α + \cos²α = 1 $

Возведем обе части этого равенства в третью степень (в куб):

$ (\sin²α + \cos²α)³ = 1³ $

Применим формулу куба суммы $ (a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) $, где $ a = \sin²α $ и $ b = \cos²α $:

$ (\sin²α)³ + (\cos²α)³ + 3\sin²α \cos²α(\sin²α + \cos²α) = 1 $

Упростим выражение, зная, что $ \sin²α + \cos²α = 1 $:

$ \sin⁶α + \cos⁶α + 3\sin²α \cos²α(1) = 1 $

В результате получаем исходное тождество:

$ \sin⁶α + \cos⁶α + 3\sin²α \cos²α = 1 $

Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

20.14. Докажите тождество $2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 3(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) = -1$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Чтобы упростить запись, введем временные обозначения: пусть $a = \sin^2 \alpha$ и $b = \cos^2 \alpha$.

Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что $a + b = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Теперь перепишем левую часть исходного равенства, используя введенные переменные. Заметим, что $\sin^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 = a^2$, $\cos^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 = b^2$, $\sin^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 = a^3$ и $\cos^6 \alpha = (\cos^2 \alpha)^3 = b^3$.

Исходное выражение принимает вид:

$2(a^3 + b^3) - 3(a^2 + b^2)$

Теперь преобразуем выражения в скобках, используя известное равенство $a+b=1$.

1. Преобразуем сумму квадратов $a^2 + b^2$, выделив полный квадрат:

$a^2 + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = (a+b)^2 - 2ab$

Подставляя $a+b=1$, получаем:

$a^2 + b^2 = 1^2 - 2ab = 1 - 2ab$

2. Преобразуем сумму кубов $a^3 + b^3$, используя формулу сокращенного умножения $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = (a+b)((a^2+b^2) - ab)$

Подставляя $a+b=1$ и $a^2+b^2=1-2ab$, получаем:

$a^3 + b^3 = 1 \cdot ((1 - 2ab) - ab) = 1 - 3ab$

Теперь подставим упрощенные выражения для $a^2+b^2$ и $a^3+b^3$ в исходное преобразованное выражение:

$2(1 - 3ab) - 3(1 - 2ab)$

Раскроем скобки:

$2 - 6ab - 3 + 6ab$

Приведем подобные слагаемые:

$(2 - 3) + (-6ab + 6ab) = -1 + 0 = -1$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества $2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 3(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha)$ тождественно равна -1. Равенство доказано.

Ответ: тождество доказано.

20.15. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}$;

2) $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = -2.$

1) Требуется найти значение выражения $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$, если $\tan \alpha = \frac{1}{3}$.

Поскольку тангенс угла $\alpha$ определен ($\tan \alpha = \frac{1}{3}$), это означает, что $\cos \alpha \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить и числитель, и знаменатель дроби на $\cos \alpha$, чтобы выразить все через $\tan \alpha$.

$\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}$

Зная, что $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, заменим отношение синуса к косинусу на тангенс:

$\frac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1}$

Теперь подставим в полученное выражение известное значение $\tan \alpha = \frac{1}{3}$:

$\frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1 - 3}{3}}{\frac{1 + 3}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Требуется найти значение выражения $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$, если $\cot \alpha = -2$.

Поскольку котангенс угла $\alpha$ определен ($\cot \alpha = -2$), это означает, что $\sin \alpha \neq 0$. Мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\sin^2 \alpha$, чтобы выразить всё через $\cot \alpha$. Это возможно, так как все слагаемые в числителе и знаменателе имеют вторую степень (выражение однородное).

$\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{2 \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - 7 \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{3 \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 4 \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}}$

Зная, что $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, получаем:

$\frac{2\cot^2 \alpha - 7}{3\cot^2 \alpha + 4\cot \alpha}$

Теперь подставим в полученное выражение известное значение $\cot \alpha = -2$:

$\frac{2(-2)^2 - 7}{3(-2)^2 + 4(-2)} = \frac{2 \cdot 4 - 7}{3 \cdot 4 - 8} = \frac{8 - 7}{12 - 8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

20.16. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{5 \cos \alpha + 6 \sin \alpha}{3 \sin \alpha - 7 \cos \alpha}$, если $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $ \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$, если $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 7\cos\alpha}$, если известно, что $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{2}$, мы можем преобразовать исходное выражение, разделив числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$. Это возможно, так как если $\text{tg}\,\alpha$ определен, то $\cos\alpha \neq 0$.

Выполним деление:

$\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 7\cos\alpha} = \frac{\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha - 7\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{5\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{6\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{7\cos\alpha}{\cos\alpha}}$

Поскольку $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, выражение упрощается до:

$\frac{5 + 6\text{tg}\,\alpha}{3\text{tg}\,\alpha - 7}$

Теперь подставим заданное значение $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{2}$ в полученное выражение:

$\frac{5 + 6 \cdot \frac{1}{2}}{3 \cdot \frac{1}{2} - 7} = \frac{5 + 3}{\frac{3}{2} - 7} = \frac{8}{\frac{3}{2} - \frac{14}{2}} = \frac{8}{-\frac{11}{2}} = 8 \cdot (-\frac{2}{11}) = -\frac{16}{11}$

Ответ: $-\frac{16}{11}$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$, если известно, что $\text{ctg}\,\alpha = \frac{3}{4}$, преобразуем выражение, разделив числитель и знаменатель на $\sin^2\alpha$. Это возможно, так как если $\text{ctg}\,\alpha$ определен, то $\sin\alpha \neq 0$.

Выполним деление:

$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}$

Поскольку $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, выражение упрощается до:

$\frac{\text{ctg}\,\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}$

Теперь подставим заданное значение $\text{ctg}\,\alpha = \frac{3}{4}$ в полученное выражение:

$\frac{\frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{16}{16} - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7} = \frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$.

20.17. Дано: $sin \alpha + cos \alpha = b$. Найдите:

1) $sin \alpha cos \alpha$;

2) $sin^3 \alpha + cos^3 \alpha$;

3) $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$.

1) sinα cosα;

Нам дано равенство $sin\alpha + cos\alpha = b$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(sin\alpha + cos\alpha)^2 = b^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$sin^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha = b^2$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$(sin^2\alpha + cos^2\alpha) + 2sin\alpha cos\alpha = b^2$

$1 + 2sin\alpha cos\alpha = b^2$

Теперь выразим искомое произведение $sin\alpha cos\alpha$:

$2sin\alpha cos\alpha = b^2 - 1$

$sin\alpha cos\alpha = \frac{b^2 - 1}{2}$

Ответ: $\frac{b^2 - 1}{2}$

2) sin³ α + cos³ α;

Для нахождения значения этого выражения воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = (sin\alpha + cos\alpha)(sin^2\alpha - sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha)$

Перегруппируем слагаемые во второй скобке, чтобы использовать основное тригонометрическое тождество:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = (sin\alpha + cos\alpha)((sin^2\alpha + cos^2\alpha) - sin\alpha cos\alpha)$

Из условия задачи нам известно, что $sin\alpha + cos\alpha = b$. Также мы знаем, что $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из предыдущего пункта мы нашли, что $sin\alpha cos\alpha = \frac{b^2 - 1}{2}$. Подставим эти значения в формулу:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = b \cdot (1 - \frac{b^2 - 1}{2})$

Упростим выражение в скобках:

$1 - \frac{b^2 - 1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{b^2 - 1}{2} = \frac{2 - (b^2 - 1)}{2} = \frac{2 - b^2 + 1}{2} = \frac{3 - b^2}{2}$

Теперь подставим это обратно в основное выражение:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = b \cdot \frac{3 - b^2}{2} = \frac{b(3 - b^2)}{2}$

Ответ: $\frac{b(3 - b^2)}{2}$

3) sin⁴ α + cos⁴ α.

Преобразуем выражение $sin^4\alpha + cos^4\alpha$, выделив полный квадрат. Для этого добавим и вычтем $2sin^2\alpha cos^2\alpha$:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^4\alpha + 2sin^2\alpha cos^2\alpha + cos^4\alpha) - 2sin^2\alpha cos^2\alpha$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2$:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 - 2(sin\alpha cos\alpha)^2$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и результат из пункта 1), $sin\alpha cos\alpha = \frac{b^2 - 1}{2}$. Подставим эти значения:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1^2 - 2 \cdot (\frac{b^2 - 1}{2})^2$

Упростим полученное выражение:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{(b^2 - 1)^2}{4} = 1 - \frac{(b^2 - 1)^2}{2}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(b^2 - 1)^2 = (b^2)^2 - 2 \cdot b^2 \cdot 1 + 1^2 = b^4 - 2b^2 + 1$.

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{b^4 - 2b^2 + 1}{2}$

Приведем к общему знаменателю:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = \frac{2}{2} - \frac{b^4 - 2b^2 + 1}{2} = \frac{2 - (b^4 - 2b^2 + 1)}{2} = \frac{2 - b^4 + 2b^2 - 1}{2}$

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = \frac{1 + 2b^2 - b^4}{2}$

Ответ: $\frac{1 + 2b^2 - b^4}{2}$

20.18. Дано: $tg \alpha + ctg \alpha = b$. Найдите:

1) $tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha;$

2) $tg^3 \alpha + ctg^3 \alpha.$

1) tg² α + ctg² α;

Чтобы найти значение выражения $\text{tg}^2\,\alpha + \text{ctg}^2\,\alpha$, возведем в квадрат обе части исходного равенства $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = b$:

$(\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha)^2 = b^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$\text{tg}^2\,\alpha + 2 \cdot \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha + \text{ctg}^2\,\alpha = b^2$

Мы знаем, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$\text{tg}^2\,\alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2\,\alpha = b^2$

$\text{tg}^2\,\alpha + \text{ctg}^2\,\alpha + 2 = b^2$

Отсюда выразим искомую сумму:

$\text{tg}^2\,\alpha + \text{ctg}^2\,\alpha = b^2 - 2$

Ответ: $b^2 - 2$

2) tg³ α + ctg³ α.

Чтобы найти значение выражения $\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha$, возведем в куб обе части исходного равенства $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = b$:

$(\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha)^3 = b^3$

Воспользуемся формулой куба суммы, представленной в виде $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$:

$\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha + 3 \cdot \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha \cdot (\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha) = b^3$

Теперь подставим известные нам значения: $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$ и $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = b$.

$\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha + 3 \cdot 1 \cdot b = b^3$

$\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha + 3b = b^3$

Выразим искомую сумму кубов:

$\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha = b^3 - 3b$

Ответ: $b^3 - 3b$

20.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $\sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $ \sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha $ преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Представим $ 2\cos^2\alpha $ как сумму $ \cos^2\alpha + \cos^2\alpha $. Тогда исходное выражение можно записать в виде:

$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \cos^2\alpha $

Сгруппируем первые два слагаемых. Их сумма, согласно основному тригонометрическому тождеству, равна 1:

$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\alpha = 1 + \cos^2\alpha $

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений выражения $ 1 + \cos^2\alpha $. Для этого необходимо определить область значений функции $ y = \cos^2\alpha $.

Известно, что значения функции $ \cos\alpha $ находятся в пределах от -1 до 1:

$ -1 \le \cos\alpha \le 1 $

При возведении в квадрат, любое значение из этого промежутка станет неотрицательным. Минимальное значение будет $ 0^2=0 $, а максимальное $ (\pm1)^2 = 1 $. Таким образом, область значений для $ \cos^2\alpha $:

$ 0 \le \cos^2\alpha \le 1 $

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения для всего выражения $ 1 + \cos^2\alpha $.

Наименьшее значение выражения достигается, когда слагаемое $ \cos^2\alpha $ принимает свое минимальное значение, равное 0.

$ E_{наим} = 1 + 0 = 1 $

Наибольшее значение выражения достигается, когда слагаемое $ \cos^2\alpha $ принимает свое максимальное значение, равное 1.

$ E_{наиб} = 1 + 1 = 2 $

Ответ: наименьшее значение выражения равно 1, наибольшее значение равно 2.

20.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $3\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $3\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. С помощью этого тождества можно выразить данное выражение через одну тригонометрическую функцию.

Способ 1: Выражение через $\sin^2\alpha$
Заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$ в исходном выражении:
$3\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha = 3\sin^2\alpha - 2(1 - \sin^2\alpha)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3\sin^2\alpha - 2 + 2\sin^2\alpha = 5\sin^2\alpha - 2$
Теперь нам нужно найти область значений выражения $5\sin^2\alpha - 2$.
Мы знаем, что значения синуса находятся в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \sin\alpha \le 1$
Следовательно, значения $\sin^2\alpha$ находятся в пределах от 0 до 1:
$0 \le \sin^2\alpha \le 1$
Чтобы найти диапазон значений всего выражения, умножим все части этого неравенства на 5, а затем вычтем 2:
$0 \cdot 5 \le 5\sin^2\alpha \le 1 \cdot 5$
$0 \le 5\sin^2\alpha \le 5$
$0 - 2 \le 5\sin^2\alpha - 2 \le 5 - 2$
$-2 \le 5\sin^2\alpha - 2 \le 3$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -2 (когда $\sin^2\alpha=0$), а наибольшее значение равно 3 (когда $\sin^2\alpha=1$).

Способ 2: Выражение через $\cos^2\alpha$
Аналогично, можно заменить $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:
$3\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha = 3(1 - \cos^2\alpha) - 2\cos^2\alpha$
$3 - 3\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha = 3 - 5\cos^2\alpha$
Мы знаем, что область значений для $\cos^2\alpha$ также от 0 до 1:
$0 \le \cos^2\alpha \le 1$
Умножим неравенство на -5 (знаки неравенства изменятся на противоположные):
$0 \ge -5\cos^2\alpha \ge -5$
Или, в более привычном виде: $-5 \le -5\cos^2\alpha \le 0$.
Теперь прибавим 3 ко всем частям:
$3 - 5 \le 3 - 5\cos^2\alpha \le 3 + 0$
$-2 \le 3 - 5\cos^2\alpha \le 3$
Этот способ также показывает, что наименьшее значение выражения равно -2 (когда $\cos^2\alpha=1$), а наибольшее значение равно 3 (когда $\cos^2\alpha=0$).

Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -2.

20.21. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\cos^2 \beta (1 + \operatorname{tg}\beta) + \sin^2 \beta (1 + \operatorname{ctg}\beta)}$, если $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$;

2) $\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta}}{\operatorname{tg}\beta \operatorname{ctg}\alpha}$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

1)

Сначала упростим выражение под знаком корня: $ \cos^2 \beta(1 + \operatorname{tg}\beta) + \sin^2 \beta(1 + \operatorname{ctg}\beta) $.
Используем определения тангенса и котангенса: $ \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $ и $ \operatorname{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $.
$ \cos^2 \beta \left(1 + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right) + \sin^2 \beta \left(1 + \frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right) $
Раскроем скобки, приведя к общему знаменателю внутри них:
$ \cos^2 \beta \cdot \frac{\cos\beta + \sin\beta}{\cos\beta} + \sin^2 \beta \cdot \frac{\sin\beta + \cos\beta}{\sin\beta} $
Сократим дроби:
$ \cos\beta(\cos\beta + \sin\beta) + \sin\beta(\sin\beta + \cos\beta) $
Вынесем общий множитель $ (\sin\beta + \cos\beta) $:
$ (\sin\beta + \cos\beta)(\cos\beta + \sin\beta) = (\sin\beta + \cos\beta)^2 $
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$ \sqrt{(\sin\beta + \cos\beta)^2} = |\sin\beta + \cos\beta| $
По условию, угол $ \beta $ находится в третьей четверти, то есть $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $. В этой четверти и синус, и косинус являются отрицательными величинами: $ \sin\beta < 0 $ и $ \cos\beta < 0 $.
Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, поэтому $ \sin\beta + \cos\beta < 0 $.
Согласно определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то его модуль равен этому выражению, взятому с противоположным знаком:
$ |\sin\beta + \cos\beta| = -(\sin\beta + \cos\beta) = -\sin\beta - \cos\beta $

Ответ: $ -\sin\beta - \cos\beta $

2)

Упростим выражение в числителе. Рассмотрим подкоренное выражение: $ 1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, мы можем заменить $ 1 - \sin^2 \alpha $ на $ \cos^2 \alpha $:
$ \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta $
Вынесем общий множитель $ \cos^2 \alpha $ за скобки:
$ \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \beta) $
Снова применим основное тригонометрическое тождество, заменив $ 1 - \cos^2 \beta $ на $ \sin^2 \beta $:
$ \cos^2 \alpha \sin^2 \beta $
Таким образом, числитель дроби равен $ \sqrt{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta} = |\cos \alpha \sin \beta| $.
Теперь определим знаки тригонометрических функций, используя заданные интервалы:
Для угла $ \alpha $ задан интервал $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует третьей четверти. В этой четверти $ \cos \alpha < 0 $.
Для угла $ \beta $ задан интервал $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $, что соответствует второй четверти. В этой четверти $ \sin \beta > 0 $.
Произведение $ \cos \alpha \sin \beta $ будет отрицательным, так как $ (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное}) = (\text{отрицательное}) $.
Следовательно, раскрываем модуль со знаком минус:
$ |\cos \alpha \sin \beta| = -(\cos \alpha \sin \beta) = -\cos \alpha \sin \beta $.
Теперь рассмотрим знаменатель: $ \operatorname{tg}\beta \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Подставим упрощенный числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{-\cos \alpha \sin \beta}{\frac{\sin\beta \cos\alpha}{\cos\beta \sin\alpha}} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:
$ -\cos \alpha \sin \beta \cdot \frac{\cos\beta \sin\alpha}{\sin\beta \cos\alpha} $
Сокращаем одинаковые множители $ \cos \alpha $ и $ \sin \beta $ (они не равны нулю в заданных интервалах):
$ -1 \cdot \cos\beta \sin\alpha = -\sin\alpha \cos\beta $

Ответ: $ -\sin\alpha \cos\beta $

20.22. Упростите выражение $\sin\alpha - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$, если $180^\circ < \alpha < 360^\circ$.

Для того чтобы упростить данное выражение, начнем с преобразования подкоренного выражения $\ctg^2\alpha - \cos^2\alpha$.

1. Воспользуемся определением котангенса $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и подставим его в выражение:$\ctg^2\alpha - \cos^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \cos^2\alpha$

2. Вынесем общий множитель $\cos^2\alpha$ за скобки:$\cos^2\alpha \left(\frac{1}{\sin^2\alpha} - 1\right)$

3. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:$\cos^2\alpha \left(\frac{1 - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)$

4. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$. Подставим это в наше выражение:$\cos^2\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}$

5. Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат под знак корня:$\sin\alpha - \sqrt{\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}$

6. Извлечем корень, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:$\sqrt{\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\sqrt{(\cos^2\alpha)^2}}{\sqrt{\sin^2\alpha}} = \frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}$

7. Теперь необходимо раскрыть модули, учитывая заданное условие $180^\circ < \alpha < 360^\circ$. Этот интервал соответствует III и IV координатным четвертям.

• Выражение $\cos^2\alpha$ всегда неотрицательно, поэтому $|\cos^2\alpha| = \cos^2\alpha$.
• В III и IV четвертях значение синуса отрицательно, то есть $\sin\alpha < 0$. Следовательно, $|\sin\alpha| = -\sin\alpha$.

Таким образом, выражение под корнем упрощается до:$\frac{\cos^2\alpha}{-\sin\alpha} = -\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$

8. Подставим это в наше выражение:$\sin\alpha - \left(-\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\right) = \sin\alpha + \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$

9. Приведем слагаемые к общему знаменателю $\sin\alpha$:$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha}$

10. Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:$\frac{1}{\sin\alpha}$

Ответ: $\frac{1}{\sin\alpha}$

20.23. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$;

2) $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

1) Докажите, что функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$;

Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, достаточно показать, что ее производная на этом промежутке отрицательна.

Область определения функции: $x+5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$. Промежуток $(-5; +\infty)$ входит в область определения.

Найдем производную функции $y(x) = \frac{7}{x+5}$:

$y' = \left(\frac{7}{x+5}\right)' = 7 \cdot \left((x+5)^{-1}\right)' = 7 \cdot (-1) \cdot (x+5)^{-2} \cdot (x+5)' = -7(x+5)^{-2} = -\frac{7}{(x+5)^2}$.

Определим знак производной на промежутке $(-5; +\infty)$.

Для любого $x$ из этого промежутка выполняется неравенство $x > -5$, следовательно, $x+5 > 0$.

Квадрат любого ненулевого числа является положительным числом, поэтому $(x+5)^2 > 0$ для всех $x$ из рассматриваемого промежутка.

Числитель дроби равен $-7$ (отрицательное число), а знаменатель $(x+5)^2$ положителен. Частное от деления отрицательного числа на положительное всегда отрицательно.

Таким образом, $y' = -\frac{7}{(x+5)^2} < 0$ для всех $x \in (-5; +\infty)$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем промежутке $(-5; +\infty)$, функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажите, что функция $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, достаточно показать, что ее производная на этом промежутке неотрицательна ($y' \ge 0$).

Данная функция является квадратичной, ее область определения — все действительные числа.

Найдем производную функции $y(x) = 6x - x^2$:

$y' = (6x - x^2)' = (6x)' - (x^2)' = 6 - 2x$.

Определим, при каких значениях $x$ производная $y' = 6 - 2x$ будет неотрицательной. Для этого решим неравенство:

$6 - 2x \ge 0$

Перенесем $2x$ в правую часть:

$6 \ge 2x$

Разделим обе части на 2:

$3 \ge x$, или $x \le 3$.

Неравенство $y' \ge 0$ выполняется для всех $x$ из промежутка $(-\infty; 3]$. При этом равенство $y' = 0$ достигается только в одной точке $x=3$. На интервале $(-\infty; 3)$ производная строго положительна ($y' > 0$).

Поскольку производная функции неотрицательна на всем промежутке $(-\infty; 3]$, функция $y = 6x - x^2$ возрастает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.