gdz.top
Номер 20.19, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 20. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Упражнения - номер 20.19, страница 154.
№20.18
№20.19 (с. 154)
Условие. №20.19 (с. 154)
20.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $\sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha$.
Решение 1. №20.19 (с. 154)
Решение 2. №20.19 (с. 154)
Решение 3. №20.19 (с. 154)
Решение 5. №20.19 (с. 154)
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $ \sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha $ преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Представим $ 2\cos^2\alpha $ как сумму $ \cos^2\alpha + \cos^2\alpha $. Тогда исходное выражение можно записать в виде:
$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \cos^2\alpha $
Сгруппируем первые два слагаемых. Их сумма, согласно основному тригонометрическому тождеству, равна 1:
$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\alpha = 1 + \cos^2\alpha $
Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений выражения $ 1 + \cos^2\alpha $. Для этого необходимо определить область значений функции $ y = \cos^2\alpha $.
Известно, что значения функции $ \cos\alpha $ находятся в пределах от -1 до 1:
$ -1 \le \cos\alpha \le 1 $
При возведении в квадрат, любое значение из этого промежутка станет неотрицательным. Минимальное значение будет $ 0^2=0 $, а максимальное $ (\pm1)^2 = 1 $. Таким образом, область значений для $ \cos^2\alpha $:
$ 0 \le \cos^2\alpha \le 1 $
Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения для всего выражения $ 1 + \cos^2\alpha $.
Наименьшее значение выражения достигается, когда слагаемое $ \cos^2\alpha $ принимает свое минимальное значение, равное 0.
$ E_{наим} = 1 + 0 = 1 $
Наибольшее значение выражения достигается, когда слагаемое $ \cos^2\alpha $ принимает свое максимальное значение, равное 1.
$ E_{наиб} = 1 + 1 = 2 $
Ответ: наименьшее значение выражения равно 1, наибольшее значение равно 2.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 20.19 расположенного на странице 154 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20.19 (с. 154), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.