Номер 20.17, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.17. Дано: $sin \alpha + cos \alpha = b$. Найдите:

1) $sin \alpha cos \alpha$;

2) $sin^3 \alpha + cos^3 \alpha$;

3) $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$.

1) sinα cosα;

Нам дано равенство $sin\alpha + cos\alpha = b$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(sin\alpha + cos\alpha)^2 = b^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$sin^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha = b^2$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$(sin^2\alpha + cos^2\alpha) + 2sin\alpha cos\alpha = b^2$

$1 + 2sin\alpha cos\alpha = b^2$

Теперь выразим искомое произведение $sin\alpha cos\alpha$:

$2sin\alpha cos\alpha = b^2 - 1$

$sin\alpha cos\alpha = \frac{b^2 - 1}{2}$

Ответ: $\frac{b^2 - 1}{2}$

2) sin³ α + cos³ α;

Для нахождения значения этого выражения воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = (sin\alpha + cos\alpha)(sin^2\alpha - sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha)$

Перегруппируем слагаемые во второй скобке, чтобы использовать основное тригонометрическое тождество:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = (sin\alpha + cos\alpha)((sin^2\alpha + cos^2\alpha) - sin\alpha cos\alpha)$

Из условия задачи нам известно, что $sin\alpha + cos\alpha = b$. Также мы знаем, что $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из предыдущего пункта мы нашли, что $sin\alpha cos\alpha = \frac{b^2 - 1}{2}$. Подставим эти значения в формулу:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = b \cdot (1 - \frac{b^2 - 1}{2})$

Упростим выражение в скобках:

$1 - \frac{b^2 - 1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{b^2 - 1}{2} = \frac{2 - (b^2 - 1)}{2} = \frac{2 - b^2 + 1}{2} = \frac{3 - b^2}{2}$

Теперь подставим это обратно в основное выражение:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = b \cdot \frac{3 - b^2}{2} = \frac{b(3 - b^2)}{2}$

Ответ: $\frac{b(3 - b^2)}{2}$

3) sin⁴ α + cos⁴ α.

Преобразуем выражение $sin^4\alpha + cos^4\alpha$, выделив полный квадрат. Для этого добавим и вычтем $2sin^2\alpha cos^2\alpha$:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^4\alpha + 2sin^2\alpha cos^2\alpha + cos^4\alpha) - 2sin^2\alpha cos^2\alpha$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2$:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 - 2(sin\alpha cos\alpha)^2$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и результат из пункта 1), $sin\alpha cos\alpha = \frac{b^2 - 1}{2}$. Подставим эти значения:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1^2 - 2 \cdot (\frac{b^2 - 1}{2})^2$

Упростим полученное выражение:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{(b^2 - 1)^2}{4} = 1 - \frac{(b^2 - 1)^2}{2}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(b^2 - 1)^2 = (b^2)^2 - 2 \cdot b^2 \cdot 1 + 1^2 = b^4 - 2b^2 + 1$.

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{b^4 - 2b^2 + 1}{2}$

Приведем к общему знаменателю:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = \frac{2}{2} - \frac{b^4 - 2b^2 + 1}{2} = \frac{2 - (b^4 - 2b^2 + 1)}{2} = \frac{2 - b^4 + 2b^2 - 1}{2}$

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = \frac{1 + 2b^2 - b^4}{2}$

Ответ: $\frac{1 + 2b^2 - b^4}{2}$