gdz.top
Номер 20.14, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 20. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Упражнения - номер 20.14, страница 154.
№20.13
№20.14 (с. 154)
Условие. №20.14 (с. 154)
20.14. Докажите тождество $2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 3(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) = -1$.
Решение 1. №20.14 (с. 154)
Решение 2. №20.14 (с. 154)
Решение 3. №20.14 (с. 154)
Решение 4. №20.14 (с. 154)
Решение 5. №20.14 (с. 154)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Чтобы упростить запись, введем временные обозначения: пусть $a = \sin^2 \alpha$ и $b = \cos^2 \alpha$.
Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что $a + b = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Теперь перепишем левую часть исходного равенства, используя введенные переменные. Заметим, что $\sin^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 = a^2$, $\cos^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 = b^2$, $\sin^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 = a^3$ и $\cos^6 \alpha = (\cos^2 \alpha)^3 = b^3$.
Исходное выражение принимает вид:
$2(a^3 + b^3) - 3(a^2 + b^2)$
Теперь преобразуем выражения в скобках, используя известное равенство $a+b=1$.
1. Преобразуем сумму квадратов $a^2 + b^2$, выделив полный квадрат:
$a^2 + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = (a+b)^2 - 2ab$
Подставляя $a+b=1$, получаем:
$a^2 + b^2 = 1^2 - 2ab = 1 - 2ab$
2. Преобразуем сумму кубов $a^3 + b^3$, используя формулу сокращенного умножения $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = (a+b)((a^2+b^2) - ab)$
Подставляя $a+b=1$ и $a^2+b^2=1-2ab$, получаем:
$a^3 + b^3 = 1 \cdot ((1 - 2ab) - ab) = 1 - 3ab$
Теперь подставим упрощенные выражения для $a^2+b^2$ и $a^3+b^3$ в исходное преобразованное выражение:
$2(1 - 3ab) - 3(1 - 2ab)$
Раскроем скобки:
$2 - 6ab - 3 + 6ab$
Приведем подобные слагаемые:
$(2 - 3) + (-6ab + 6ab) = -1 + 0 = -1$
Таким образом, мы показали, что левая часть тождества $2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 3(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha)$ тождественно равна -1. Равенство доказано.
Ответ: тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 20.14 расположенного на странице 154 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20.14 (с. 154), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.