Номер 20.7, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.7. Упростите выражение:

1) $(1+\operatorname{tg} \alpha)^{2}+(1-\operatorname{tg} \alpha)^{2}$;

2) $\sin ^{4} \alpha+2 \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha+\cos ^{4} \alpha$;

3) $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}$;

4) $\operatorname{ctg} x+\frac{\sin x}{1+\cos x}$;

5) $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$;

6) $\frac{\operatorname{tg} 3 \alpha}{\operatorname{tg}^{2} 3 \alpha-1} \cdot \frac{1-\operatorname{ctg}^{2} 3 \alpha}{\operatorname{ctg} 3 \alpha}$;

7) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}$;

8) $\frac{1-\operatorname{ctg} \gamma}{1-\operatorname{tg} \gamma}$;

9) $\cos ^{4} \alpha-\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha$;

10) $\sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha$;

11) $\cos (-\alpha)+\cos \alpha \operatorname{tg}^{2}(-\alpha)$;

12) $\frac{1+\sin (-\beta)}{\cos (-\beta)}-\operatorname{tg}(-\beta)$.

1) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$(1 + \tg \alpha)^2 + (1 - \tg \alpha)^2 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \tg \alpha + \tg^2 \alpha) + (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \tg \alpha + \tg^2 \alpha) = $
$= (1 + 2\tg\alpha + \tg^2\alpha) + (1 - 2\tg\alpha + \tg^2\alpha)$.
Приведем подобные слагаемые:
$1 + 1 + 2\tg\alpha - 2\tg\alpha + \tg^2\alpha + \tg^2\alpha = 2 + 2\tg^2\alpha$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(1 + \tg^2\alpha)$.
Используем тригонометрическое тождество $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:
$2 \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{2}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos^2\alpha}$.

2) Данное выражение представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что оно соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$:
$\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + 2(\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha) + (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2 = 1$.
Ответ: $1$.

3) Приведем дроби к общему знаменателю $(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)$:
$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(1-\cos\alpha) + \sin\alpha(1+\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}$.
В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha) = 1 - \cos^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\sin\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha + \sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha$.
Подставим полученные числитель и знаменатель в выражение:
$\frac{2\sin\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin\alpha}$.

4) Представим $\ctg x$ в виде дроби $\frac{\cos x}{\sin x}$:
$\ctg x + \frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1+\cos x}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $\sin x(1+\cos x)$:
$\frac{\cos x(1+\cos x) + \sin x \cdot \sin x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)}$.
В числителе используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$\frac{\cos x + 1}{\sin x(1+\cos x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1+\cos x)$:
$\frac{1}{\sin x}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin x}$.

5) Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha(1+\cos\alpha)$:
$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} + \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha + (1+\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha + (1+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$.
Раскроем квадрат суммы в числителе:
$\frac{\sin^2\alpha + 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$.
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 + 2\cos\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{1 + 1 + 2\cos\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{2 + 2\cos\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$.
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$.
Сократим дробь на $(1+\cos\alpha)$:
$\frac{2}{\sin\alpha}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin\alpha}$.

6) Упростим второй множитель, выразив котангенс через тангенс, $\ctg 3\alpha = \frac{1}{\tg 3\alpha}$:
$\frac{1-\ctg^2 3\alpha}{\ctg 3\alpha} = \frac{1 - \frac{1}{\tg^2 3\alpha}}{\frac{1}{\tg 3\alpha}} = \frac{\frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg^2 3\alpha}}{\frac{1}{\tg 3\alpha}}$.
Разделим дроби:
$\frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg^2 3\alpha} \cdot \frac{\tg 3\alpha}{1} = \frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg 3\alpha}$.
Теперь подставим упрощенный второй множитель в исходное выражение:
$\frac{\tg 3\alpha}{\tg^2 3\alpha - 1} \cdot \frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg 3\alpha}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\tg 3\alpha}{\tg^2 3\alpha - 1} \cdot \frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg 3\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

7) Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Знаменатель: $\tg\alpha + \ctg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{\ctg\alpha}{\tg\alpha + \ctg\alpha} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}$.
Разделим дроби:
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{1} = \cos^2\alpha$.
Ответ: $\cos^2\alpha$.

8) Выразим $\tg\gamma$ через $\ctg\gamma$: $\tg\gamma = \frac{1}{\ctg\gamma}$.
$\frac{1-\ctg\gamma}{1-\tg\gamma} = \frac{1-\ctg\gamma}{1-\frac{1}{\ctg\gamma}} = \frac{1-\ctg\gamma}{\frac{\ctg\gamma-1}{\ctg\gamma}}$.
Разделим дроби:
$(1-\ctg\gamma) \cdot \frac{\ctg\gamma}{\ctg\gamma-1}$.
Заметим, что $1-\ctg\gamma = -(\ctg\gamma-1)$.
$-(\ctg\gamma-1) \cdot \frac{\ctg\gamma}{\ctg\gamma-1} = -\ctg\gamma$.
Ответ: $-\ctg\gamma$.

9) Заменим в выражении $\sin^2\alpha$ на $1-\cos^2\alpha$ согласно основному тригонометрическому тождеству:
$\cos^4\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \cos^2\alpha + (1-\cos^2\alpha)$.
Приведем подобные слагаемые:
$\cos^4\alpha - 2\cos^2\alpha + 1$.
Это выражение является полным квадратом разности $(\cos^2\alpha - 1)^2$.
Из основного тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.
Тогда $(\cos^2\alpha - 1)^2 = (-\sin^2\alpha)^2 = \sin^4\alpha$.
Ответ: $\sin^4\alpha$.

10) Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $\sin^2\alpha$:
$\sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin^2\alpha \cdot 1 + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.
Еще раз применяем основное тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Ответ: $1$.

11) Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\cos(-x) = \cos x$ (четная) и $\tg(-x) = -\tg x$ (нечетная).
$\cos(-\alpha) + \cos\alpha\tg^2(-\alpha) = \cos\alpha + \cos\alpha(-\tg\alpha)^2 = \cos\alpha + \cos\alpha\tg^2\alpha$.
Вынесем общий множитель $\cos\alpha$ за скобки:
$\cos\alpha(1+\tg^2\alpha)$.
Применим тождество $1+\tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:
$\cos\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos\alpha}$.

12) Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-\beta) = -\sin\beta$, $\cos(-\beta) = \cos\beta$, $\tg(-\beta) = -\tg\beta$.
$\frac{1+\sin(-\beta)}{\cos(-\beta)} - \tg(-\beta) = \frac{1-\sin\beta}{\cos\beta} - (-\tg\beta) = \frac{1-\sin\beta}{\cos\beta} + \tg\beta$.
Представим $\tg\beta$ как $\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$:
$\frac{1-\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{1-\sin\beta+\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{1}{\cos\beta}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos\beta}$.