Номер 20.10, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.10. Найдите значения тригонометрических функций аргумента $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

2) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

3) $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{1}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha = -7$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Дано: $ \cos\alpha = \frac{12}{13} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Аргумент $ \alpha $ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс) положительны.

Найдем $ \sin\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.

Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} $.

$ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{12}{5} $.

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{5}{13}, \operatorname{tg}\alpha = \frac{5}{12}, \operatorname{ctg}\alpha = \frac{12}{5} $.

2) Дано: $ \sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{4} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Аргумент $ \alpha $ находится в третьей четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16} $.

Так как $ \alpha $ находится в третьей четверти, $ \cos\alpha < 0 $, поэтому $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{13}{16}} = -\frac{\sqrt{13}}{4} $.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\sqrt{3}/4}{-\sqrt{13}/4} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13} $.

$ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3} $.

Ответ: $ \cos\alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}, \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{39}}{13}, \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{39}}{3} $.

3) Дано: $ \operatorname{tg}\alpha = -\frac{1}{3} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Аргумент $ \alpha $ находится в четвертой четверти. Здесь косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

Найдем $ \operatorname{ctg}\alpha $: $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{-1/3} = -3 $.

Найдем $ \cos\alpha $ с помощью тождества $ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $:

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (-\frac{1}{3})^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} $.

Отсюда $ \cos^2\alpha = \frac{9}{10} $. Так как $ \alpha $ в четвертой четверти, $ \cos\alpha > 0 $, поэтому $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.

Найдем $ \sin\alpha $ из определения тангенса $ \sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha $:

$ \sin\alpha = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{10} $.

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}, \cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \operatorname{ctg}\alpha = -3 $.

4) Дано: $ \operatorname{ctg}\alpha = -7 $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Аргумент $ \alpha $ находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Найдем $ \operatorname{tg}\alpha $: $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} = -\frac{1}{7} $.

Найдем $ \sin\alpha $ с помощью тождества $ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $:

$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (-7)^2 = 1 + 49 = 50 $.

Отсюда $ \sin^2\alpha = \frac{1}{50} $. Так как $ \alpha $ во второй четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.

Найдем $ \cos\alpha $ из определения котангенса $ \cos\alpha = \operatorname{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha $:

$ \cos\alpha = (-7) \cdot \frac{\sqrt{2}}{10} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $.

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{10}, \cos\alpha = -\frac{7\sqrt{2}}{10}, \operatorname{tg}\alpha = -\frac{1}{7} $.