Номер 20.6, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.6. Могут ли значения выражений $|tg \alpha|$ и $|ctg \alpha|$ быть:

1) оба больше 1;

2) оба меньше 1?

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс одного и того же угла $\alpha$: $$ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $$

Это равенство справедливо для всех значений $\alpha$, при которых $ \tg \alpha $ и $ \ctg \alpha $ определены, то есть $ \alpha \neq \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Возьмем модуль от обеих частей тождества: $$ |\tg \alpha \cdot \ctg \alpha| = |1| $$ $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| = 1 $$

Это соотношение является ключом к решению. Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев.

Предположим, что значения выражений $ |\tg \alpha| $ и $ |\ctg \alpha| $ могут быть оба больше 1. Это означает, что одновременно выполняются два неравенства: $$ |\tg \alpha| > 1 $$ $$ |\ctg \alpha| > 1 $$

Поскольку обе части в каждом неравенстве положительны, мы можем их перемножить: $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| > 1 \cdot 1 $$ $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| > 1 $$

Однако, как мы установили ранее из основного тождества, $ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| = 1 $. Таким образом, мы приходим к противоречию: $ 1 > 1 $, что является ложным утверждением. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и значения $ |\tg \alpha| $ и $ |\ctg \alpha| $ не могут быть одновременно больше 1.

Ответ: нет, не могут.

Теперь предположим, что значения выражений $ |\tg \alpha| $ и $ |\ctg \alpha| $ могут быть оба меньше 1. Поскольку модуль — неотрицательная величина, это означает, что одновременно выполняются неравенства: $$ 0 \le |\tg \alpha| < 1 $$ $$ 0 \le |\ctg \alpha| < 1 $$

Если одно из значений равно 0 (например, $ |\tg \alpha| = 0 $), то другое ($ |\ctg \alpha| $) не определено. Поэтому случай, когда одно из них равно 0, мы не рассматриваем, так как по условию нужно, чтобы *оба* значения существовали. Значит, оба значения должны быть строго больше нуля. $$ 0 < |\tg \alpha| < 1 $$ $$ 0 < |\ctg \alpha| < 1 $$

Перемножим эти два неравенства: $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| < 1 \cdot 1 $$ $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| < 1 $$

Мы снова получили противоречие с тождеством $ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| = 1 $. Получилось ложное утверждение $ 1 < 1 $. Следовательно, наше предположение неверно, и значения $ |\tg \alpha| $ и $ |\ctg \alpha| $ не могут быть одновременно меньше 1.

Ответ: нет, не могут.