Страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

1. Основным тригонометрическим тождеством называют равенство, которое связывает синус и косинус одного и того же угла. Оно гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла всегда равна единице.

Формула основного тригонометрического тождества выглядит следующим образом:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

где $\alpha$ — это произвольный угол.

Доказательство и объяснение:

Это тождество можно легко вывести из теоремы Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, или с помощью единичной окружности.

1. Через прямоугольный треугольник:
Пусть есть прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Пусть $\alpha$ — один из острых углов (например, противолежащий катету $a$). По определению синуса и косинуса: $\sin\alpha = \frac{a}{c}$
$\cos\alpha = \frac{b}{c}$
По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Теперь подставим определения синуса и косинуса в левую часть тождества:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2+b^2}{c^2}$
Заменив $a^2+b^2$ на $c^2$ из теоремы Пифагора, получаем:
$\frac{c^2}{c^2} = 1$

2. Через единичную окружность:
Рассмотрим единичную окружность (окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат). Каждому углу $\alpha$ на этой окружности соответствует точка $M$ с координатами $(x; y)$.
По определению, абсцисса этой точки равна косинусу угла, а ордината — синусу угла:
$x = \cos\alpha$
$y = \sin\alpha$
Уравнение любой окружности с центром в начале координат: $x^2 + y^2 = R^2$. Для единичной окружности ($R=1$) уравнение принимает вид: $x^2 + y^2 = 1$.
Подставив в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через тригонометрические функции, получаем:
$(\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 1$
или
$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$

Это тождество является "основным", потому что из него выводится множество других тригонометрических соотношений, и оно является ключевым инструментом для упрощения выражений и решения уравнений в тригонометрии.

Ответ: Основным тригонометрическим тождеством называют равенство $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

2. Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же угла?

Для каких значений угла верно это тождество?

Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же угла?
Тождество, связывающее тангенс и косинус одного и того же угла $\alpha$, выводится из основного тригонометрического тождества: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.
Для получения искомого тождества необходимо разделить обе части основного тригонометрического тождества на $cos^2(\alpha)$, при условии, что $cos(\alpha) \neq 0$:
$\frac{sin^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} + \frac{cos^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$
Зная, что по определению тангенс угла есть отношение синуса к косинусу, то есть $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, мы можем заменить первое слагаемое на $tg^2(\alpha)$. Второе слагаемое равно 1.
В результате преобразований получаем искомое тождество:
$tg^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$
Ответ: $1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$.

Для каких значений угла верно это тождество?
Данное тождество справедливо для всех значений угла $\alpha$, для которых определены все входящие в него тригонометрические функции. В данном случае это тангенс $tg(\alpha)$ и выражение $\frac{1}{cos^2(\alpha)}$.
Функция $tg(\alpha)$ определена, когда ее знаменатель $cos(\alpha)$ не равен нулю. Аналогично, выражение $\frac{1}{cos^2(\alpha)}$ определено, когда $cos^2(\alpha) \neq 0$, что эквивалентно $cos(\alpha) \neq 0$.
Косинус угла $\alpha$ равен нулю, когда угол $\alpha$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ (или $90^\circ + 180^\circ k$ в градусах), где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, тождество верно для всех углов, кроме тех, для которых косинус обращается в ноль.
Ответ: Тождество верно для всех значений угла $\alpha$, при которых $cos(\alpha) \neq 0$, то есть для всех $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же угла?

Для каких значений угла верно это тождество?

Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же угла?

Для вывода тождества, связывающего котангенс и синус одного и того же угла $\alpha$, мы начнем с основного тригонометрического тождества:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Для того чтобы в формуле появился котангенс, вспомним его определение: $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Это определение предполагает, что $\sin\alpha \neq 0$.

Разделим обе части основного тригонометрического тождества на $\sin^2\alpha$ (при условии, что $\sin^2\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Упростим полученное выражение. Первое слагаемое равно 1, а второе можно представить как квадрат котангенса:

$1 + \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

В итоге мы получаем искомое тождество:

$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Ответ: $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Для каких значений угла верно это тождество?

Это тождество верно для всех значений угла $\alpha$, для которых обе его части имеют смысл (определены).

1. Левая часть, $1 + \cot^2\alpha$, определена, когда определен $\cot\alpha$. Функция котангенса $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ определена при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin\alpha \neq 0$.

2. Правая часть, $\frac{1}{\sin^2\alpha}$, определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin^2\alpha \neq 0$, что равносильно условию $\sin\alpha \neq 0$.

Таким образом, оба условия совпадают. Тождество верно для всех углов $\alpha$, для которых $\sin\alpha \neq 0$.

Выясним, при каких значениях $\alpha$ синус равен нулю. Это происходит, когда угол $\alpha$ является целым кратным числа $\pi$ (или 180°).

$\alpha = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, тождество верно для всех значений угла $\alpha$, кроме $\alpha = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Тождество верно для всех значений $\alpha$, при которых $\sin\alpha \neq 0$, то есть для $\alpha \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же угла? Для каких значений угла верно это тождество?

Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же угла?

Тангенс и котангенс одного и того же угла $\alpha$ связаны основным тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что их произведение равно единице.

В виде формулы это тождество записывается так: $$ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 $$

Это тождество легко выводится из определений тангенса и котангенса через синус и косинус:

Тангенс угла $\alpha$: $$ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $$

Котангенс угла $\alpha$: $$ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $$

Перемножив эти два выражения, мы видим, что синусы и косинусы в числителе и знаменателе сокращаются: $$ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 1 $$ Из этого также следует, что тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами: $ \tan(\alpha) = \frac{1}{\cot(\alpha)} $ и $ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} $.

Ответ: $ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 $.

Для каких значений угла верно это тождество?

Данное тождество справедливо только для тех значений угла $\alpha$, при которых обе тригонометрические функции, тангенс и котангенс, имеют смысл (определены).

1. Функция $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $ определена, когда её знаменатель не обращается в ноль, то есть $ \cos(\alpha) \neq 0 $. Это условие не выполняется для углов $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В градусной мере это углы $ \alpha \neq 90^\circ + 180^\circ k $.

2. Функция $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $ определена, когда её знаменатель не обращается в ноль, то есть $ \sin(\alpha) \neq 0 $. Это условие не выполняется для углов $ \alpha = \pi n $, где $ n $ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). В градусной мере это углы $ \alpha \neq 180^\circ n $.

Для того чтобы тождество $ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 $ было верным, необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. То есть, угол $\alpha$ не должен быть таким, при котором $ \cos(\alpha) = 0 $ или $ \sin(\alpha) = 0 $.

Объединив эти два ограничения, мы исключаем все углы, которые являются кратными $ \frac{\pi}{2} $ (или $ 90^\circ $). Это углы, лежащие на осях координат в единичной окружности.

Следовательно, тождество верно для всех углов $\alpha$, кроме: $$ \alpha = \frac{\pi m}{2}, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$ В градусной мере это записывается как: $$ \alpha = 90^\circ m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$

Ответ: тождество верно для всех углов $\alpha$, для которых $ \alpha \neq \frac{\pi k}{2} $ (или $ \alpha \neq 90^\circ k $), где $ k $ — любое целое число.

1) $1 - \cos^2 \alpha;$

2) $\sin^2 \beta - 1;$

3) $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1;$

4) $1 - \sin^2 3\alpha - \cos^2 3\alpha;$

5) $\cos \alpha \operatorname{tg} \alpha;$

6) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1;$

7) $1 - \sin^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha;$

8) $\cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha};$

9) $\frac{\sin^2 \beta}{1 - \sin^2 \beta} \cdot \operatorname{ctg}^2 \beta;$

10) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2.$

1) Для упрощения выражения $1 - \cos^2 \alpha$ используется основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Если из этого тождества выразить $\sin^2 \alpha$, мы получим $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$. Таким образом, исходное выражение равно $\sin^2 \alpha$.
Ответ: $\sin^2 \alpha$.

2) Для выражения $\sin^2 \beta - 1$ также используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$. Преобразуем его: $\sin^2 \beta - 1 = -\cos^2 \beta$. Другой способ — вынести минус за скобку: $\sin^2 \beta - 1 = -(1 - \sin^2 \beta)$. Так как $1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$, получаем тот же результат.
Ответ: $-\cos^2 \beta$.

3) В выражении $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1$ первые два слагаемых, $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi$, в сумме дают 1 согласно основному тригонометрическому тождеству. Таким образом, выражение упрощается до $1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.

4) В выражении $1 - \sin^2 3\alpha - \cos^2 3\alpha$ можно вынести минус за скобки у последних двух слагаемых: $1 - (\sin^2 3\alpha + \cos^2 3\alpha)$. Выражение в скобках является основным тригонометрическим тождеством для угла $3\alpha$ и равно 1. В результате получаем $1 - 1 = 0$.
Ответ: $0$.

5) Чтобы упростить выражение $\cos \alpha \cdot \tg \alpha$, нужно вспомнить определение тангенса: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Подставляем это определение в выражение: $\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. При условии, что $\cos \alpha \neq 0$, множители $\cos \alpha$ в числителе и знаменателе сокращаются, и остается $\sin \alpha$.
Ответ: $\sin \alpha$.

6) Выражение $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$ можно упростить, приведя к общему знаменателю: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$. Числитель $1 - \cos^2 \alpha$ равен $\sin^2 \alpha$. Таким образом, дробь принимает вид $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$, что по определению равно $\tg^2 \alpha$. Также можно использовать тождество $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, из которого сразу следует, что $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \tg^2 \alpha$.
Ответ: $\tg^2 \alpha$.

7) В выражении $1 - \sin^2 \alpha + \ctg^2 \alpha \sin^2 \alpha$ заменим $\ctg^2 \alpha$ на $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ (по определению котангенса). Получим: $1 - \sin^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha$. Множители $\sin^2 \alpha$ сокращаются, и выражение принимает вид: $1 - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые: $(1 - \sin^2 \alpha) + \cos^2 \alpha$. Из основного тождества $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, поэтому получаем $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha$.
Ответ: $2\cos^2 \alpha$.

8) Для упрощения выражения $\cos^2 \alpha + \ctg^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ сгруппируем последние два члена: $\cos^2 \alpha + (\ctg^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha})$. Используем тождество $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, из которого следует, что $\ctg^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = -1$. Подставляем это значение в выражение: $\cos^2 \alpha + (-1) = \cos^2 \alpha - 1$. Из основного тригонометрического тождества $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
Ответ: $-\sin^2 \alpha$.

9) В выражении $\frac{\sin^2 \beta}{1 - \sin^2 \beta} \cdot \ctg^2 \beta$ заменим знаменатель дроби $1 - \sin^2 \beta$ на $\cos^2 \beta$. Выражение примет вид: $\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} \cdot \ctg^2 \beta$. Первый множитель $\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}$ равен $\tg^2 \beta$. Получаем произведение $\tg^2 \beta \cdot \ctg^2 \beta$. Так как тангенс и котангенс — взаимно обратные функции ($\tg \beta \cdot \ctg \beta = 1$), то и произведение их квадратов равно $1^2 = 1$.
Ответ: $1$.

10) Чтобы упростить $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$, раскроем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
$(\sin^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2 \alpha)$.
При сложении этих двух выражений члены $2\sin\alpha\cos\alpha$ и $-2\sin\alpha\cos\alpha$ взаимно уничтожаются. Остается: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. Каждая скобка равна 1, следовательно, результат равен $1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.

20.2. Упростите выражение:

1) $\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \text{ctg}^2 5\alpha$;

2) $\sin \frac{\alpha}{3} - \text{ctg} \frac{\alpha}{3}$;

3) $1 - \frac{1}{\sin^2 \gamma}$;

4) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1} + \text{tg} \alpha \text{ ctg} \alpha$;

5) $(\text{tg} \alpha \cos \alpha)^2 + (\text{ctg} \alpha \sin \alpha)^2$;

6) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1)}$;

7) $\left(\frac{1}{\cos \alpha} + \text{tg} \alpha\right)\left(\frac{1}{\cos \alpha} - \text{tg} \alpha\right)$;

8) $(\text{tg} \beta + \text{ctg} \beta)^2 - (\text{tg} \beta - \text{ctg} \beta)^2$.

1) Для упрощения выражения $\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \text{ctg}^2 5\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Применим его для $x = 2\alpha$:
$\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1$.
Тогда исходное выражение принимает вид:
$1 + \text{ctg}^2 5\alpha$.
Далее используем еще одно тригонометрическое тождество: $1 + \text{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$. Применим его для $y = 5\alpha$.
Получаем: $1 + \text{ctg}^2 5\alpha = \frac{1}{\sin^2 5\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 5\alpha}$

2) Для упрощения выражения $\sin \frac{\alpha}{3} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{3}$ используем определение котангенса: $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Подставим это определение в выражение:
$\sin \frac{\alpha}{3} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{3} = \sin \frac{\alpha}{3} \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{3}}{\sin \frac{\alpha}{3}}$.
Сокращаем $\sin \frac{\alpha}{3}$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\sin \frac{\alpha}{3} \neq 0$):
$\cos \frac{\alpha}{3}$.
Ответ: $\cos \frac{\alpha}{3}$

3) Упростим выражение $1 - \frac{1}{\sin^2 \gamma}$. Приведем к общему знаменателю:
$1 - \frac{1}{\sin^2 \gamma} = \frac{\sin^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} - \frac{1}{\sin^2 \gamma} = \frac{\sin^2 \gamma - 1}{\sin^2 \gamma}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$ следует, что $\sin^2 \gamma - 1 = -\cos^2 \gamma$.
Подставим это в числитель:
$\frac{-\cos^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} = - \left(\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}\right)^2$.
По определению котангенса $\text{ctg} \gamma = \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}$, поэтому выражение равно $-\text{ctg}^2 \gamma$.
Ответ: $-\text{ctg}^2 \gamma$

4) Рассмотрим выражение $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1} + \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha$. Упростим каждую часть по отдельности.
Первая часть: $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1}$. Из основного тригонометрического тождества имеем $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$ и $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
$\frac{-\cos^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha$.
Вторая часть: $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha$. По определению, $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$ (при условии, что $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$).
Сложим упрощенные части:
$\text{ctg}^2 \alpha + 1$.
Используя тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем конечный результат.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$

5) Упростим выражение $(\text{tg} \alpha \cos \alpha)^2 + (\text{ctg} \alpha \sin \alpha)^2$.
Сначала упростим выражения в скобках. Используем определения тангенса $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и котангенса $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
$\text{tg} \alpha \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$.
$\text{ctg} \alpha \sin \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно:
$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Ответ: $1$

6) Упростим выражение $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1)}$.
Сначала преобразуем знаменатель. Из основного тригонометрического тождества следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
Знаменатель принимает вид: $1 + \text{ctg}^2 \alpha (-\sin^2 \alpha)$.
Подставим определение котангенса $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$:
$1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot (-\sin^2 \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$.
Снова используя основное тригонометрическое тождество, получаем $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Таким образом, все выражение равно:
$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$).
Ответ: $1$

7) Выражение $(\frac{1}{\cos \alpha} + \text{tg} \alpha)(\frac{1}{\cos \alpha} - \text{tg} \alpha)$ представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \frac{1}{\cos \alpha}$ и $b = \text{tg} \alpha$.
Применяя формулу, получаем:
$\left(\frac{1}{\cos \alpha}\right)^2 - (\text{tg} \alpha)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha$.
Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим его в наше выражение:
$(1 + \text{tg}^2 \alpha) - \text{tg}^2 \alpha = 1 + \text{tg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = 1$.
Ответ: $1$

8) Выражение $(\text{tg} \beta + \text{ctg} \beta)^2 - (\text{tg} \beta - \text{ctg} \beta)^2$ также является разностью квадратов $a^2 - b^2$, где $a = \text{tg} \beta + \text{ctg} \beta$ и $b = \text{tg} \beta - \text{ctg} \beta$.
Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Найдем $(a-b)$:
$(\text{tg} \beta + \text{ctg} \beta) - (\text{tg} \beta - \text{ctg} \beta) = \text{tg} \beta + \text{ctg} \beta - \text{tg} \beta + \text{ctg} \beta = 2 \text{ctg} \beta$.
Найдем $(a+b)$:
$(\text{tg} \beta + \text{ctg} \beta) + (\text{tg} \beta - \text{ctg} \beta) = \text{tg} \beta + \text{ctg} \beta + \text{tg} \beta - \text{ctg} \beta = 2 \text{tg} \beta$.
Перемножим полученные выражения:
$(2 \text{ctg} \beta)(2 \text{tg} \beta) = 4 \cdot \text{ctg} \beta \cdot \text{tg} \beta$.
Так как $\text{ctg} \beta \cdot \text{tg} \beta = 1$, то результат равен $4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: $4$

20.3. Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $ \sin \alpha = \frac{1}{4} $ и $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4} $;

2) $ \operatorname{tg} \alpha = 2,5 $ и $ \operatorname{ctg} \alpha = 0,6 $?

1) Для того чтобы два равенства могли выполняться одновременно для одного и того же угла $\alpha$, они должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Подставим в это тождество данные значения $sin \alpha = \frac{1}{4}$ и $cos \alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}$:

$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (\frac{1}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{13}}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} + \frac{(\sqrt{13})^2}{4^2} = \frac{1}{16} + \frac{13}{16} = \frac{1+13}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.

Полученный результат $\frac{7}{8}$ не равен $1$. Поскольку основное тригонометрическое тождество не выполняется, данные равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: нет.

2) Для проверки данных равенств воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс одного и того же угла $\alpha$: $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.

Подставим в это тождество данные значения $tg \alpha = 2,5$ и $ctg \alpha = 0,6$:

$tg\alpha \cdot ctg\alpha = 2,5 \cdot 0,6 = 1,5$.

Полученный результат $1,5$ не равен $1$. Поскольку тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$ не выполняется, данные равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: нет.

20.4. Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $\sin \alpha = \frac{2}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{5}$;

2) $\operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{9}$ и $\operatorname{ctg} \alpha = 1\frac{1}{4}$?

1)

Чтобы проверить, могут ли данные равенства выполняться одновременно, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставим заданные значения $\sin \alpha = \frac{2}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ в это тождество:

$(\frac{2}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{4+9}{25} = \frac{13}{25}$

Результат не равен 1, так как $\frac{13}{25} \neq 1$. Это означает, что основное тригонометрическое тождество не выполняется для данных значений.

Ответ: не могут.

2)

Чтобы проверить, могут ли данные равенства выполняться одновременно, воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и котангенс одного и того же угла: $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$.

Представим значение котангенса в виде неправильной дроби:

$\operatorname{ctg} \alpha = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь перемножим данные значения тангенса и котангенса:

$\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 4} = \frac{5}{9}$

Результат не равен 1, так как $\frac{5}{9} \neq 1$. Это означает, что тождество $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$ не выполняется для данных значений.

Ответ: не могут.

20.5. Могут ли $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $ одновременно быть равными единице?

Чтобы определить, могут ли синус и косинус одного и того же угла $ \alpha $ одновременно быть равными единице, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $

Это тождество справедливо для любого действительного значения угла $ \alpha $.

Предположим, что существует такой угол $ \alpha $, для которого одновременно выполняются два условия: $ \sin\alpha = 1 $ и $ \cos\alpha = 1 $.

Подставим эти предполагаемые значения в основное тригонометрическое тождество:

$ (\sin\alpha)^2 + (\cos\alpha)^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 $

В результате мы получаем равенство $ 2 = 1 $, что является неверным. Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ошибочным.

Также можно рассмотреть этот вопрос с помощью единичной окружности. На еди

20.6. Могут ли значения выражений $|tg \alpha|$ и $|ctg \alpha|$ быть:

1) оба больше 1;

2) оба меньше 1?

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс одного и того же угла $\alpha$: $$ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $$

Это равенство справедливо для всех значений $\alpha$, при которых $ \tg \alpha $ и $ \ctg \alpha $ определены, то есть $ \alpha \neq \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Возьмем модуль от обеих частей тождества: $$ |\tg \alpha \cdot \ctg \alpha| = |1| $$ $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| = 1 $$

Это соотношение является ключом к решению. Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев.

Предположим, что значения выражений $ |\tg \alpha| $ и $ |\ctg \alpha| $ могут быть оба больше 1. Это означает, что одновременно выполняются два неравенства: $$ |\tg \alpha| > 1 $$ $$ |\ctg \alpha| > 1 $$

Поскольку обе части в каждом неравенстве положительны, мы можем их перемножить: $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| > 1 \cdot 1 $$ $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| > 1 $$

Однако, как мы установили ранее из основного тождества, $ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| = 1 $. Таким образом, мы приходим к противоречию: $ 1 > 1 $, что является ложным утверждением. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и значения $ |\tg \alpha| $ и $ |\ctg \alpha| $ не могут быть одновременно больше 1.

Ответ: нет, не могут.

Теперь предположим, что значения выражений $ |\tg \alpha| $ и $ |\ctg \alpha| $ могут быть оба меньше 1. Поскольку модуль — неотрицательная величина, это означает, что одновременно выполняются неравенства: $$ 0 \le |\tg \alpha| < 1 $$ $$ 0 \le |\ctg \alpha| < 1 $$

Если одно из значений равно 0 (например, $ |\tg \alpha| = 0 $), то другое ($ |\ctg \alpha| $) не определено. Поэтому случай, когда одно из них равно 0, мы не рассматриваем, так как по условию нужно, чтобы *оба* значения существовали. Значит, оба значения должны быть строго больше нуля. $$ 0 < |\tg \alpha| < 1 $$ $$ 0 < |\ctg \alpha| < 1 $$

Перемножим эти два неравенства: $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| < 1 \cdot 1 $$ $$ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| < 1 $$

Мы снова получили противоречие с тождеством $ |\tg \alpha| \cdot |\ctg \alpha| = 1 $. Получилось ложное утверждение $ 1 < 1 $. Следовательно, наше предположение неверно, и значения $ |\tg \alpha| $ и $ |\ctg \alpha| $ не могут быть одновременно меньше 1.

Ответ: нет, не могут.