Номер 20.3, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 20. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Упражнения - номер 20.3, страница 152.

Условие.

20.3. Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $ \sin \alpha = \frac{1}{4} $ и $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4} $;

2) $ \operatorname{tg} \alpha = 2,5 $ и $ \operatorname{ctg} \alpha = 0,6 $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы два равенства могли выполняться одновременно для одного и того же угла $\alpha$, они должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Подставим в это тождество данные значения $sin \alpha = \frac{1}{4}$ и $cos \alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}$:

$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (\frac{1}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{13}}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} + \frac{(\sqrt{13})^2}{4^2} = \frac{1}{16} + \frac{13}{16} = \frac{1+13}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.

Полученный результат $\frac{7}{8}$ не равен $1$. Поскольку основное тригонометрическое тождество не выполняется, данные равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: нет.

2) Для проверки данных равенств воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс одного и того же угла $\alpha$: $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.

Подставим в это тождество данные значения $tg \alpha = 2,5$ и $ctg \alpha = 0,6$:

$tg\alpha \cdot ctg\alpha = 2,5 \cdot 0,6 = 1,5$.

Полученный результат $1,5$ не равен $1$. Поскольку тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$ не выполняется, данные равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: нет.