Номер 4, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же угла? Для каких значений угла верно это тождество?

Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же угла?

Тангенс и котангенс одного и того же угла $\alpha$ связаны основным тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что их произведение равно единице.

В виде формулы это тождество записывается так: $$ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 $$

Это тождество легко выводится из определений тангенса и котангенса через синус и косинус:

Тангенс угла $\alpha$: $$ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $$

Котангенс угла $\alpha$: $$ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $$

Перемножив эти два выражения, мы видим, что синусы и косинусы в числителе и знаменателе сокращаются: $$ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 1 $$ Из этого также следует, что тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами: $ \tan(\alpha) = \frac{1}{\cot(\alpha)} $ и $ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} $.

Ответ: $ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 $.

Для каких значений угла верно это тождество?

Данное тождество справедливо только для тех значений угла $\alpha$, при которых обе тригонометрические функции, тангенс и котангенс, имеют смысл (определены).

1. Функция $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $ определена, когда её знаменатель не обращается в ноль, то есть $ \cos(\alpha) \neq 0 $. Это условие не выполняется для углов $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В градусной мере это углы $ \alpha \neq 90^\circ + 180^\circ k $.

2. Функция $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $ определена, когда её знаменатель не обращается в ноль, то есть $ \sin(\alpha) \neq 0 $. Это условие не выполняется для углов $ \alpha = \pi n $, где $ n $ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). В градусной мере это углы $ \alpha \neq 180^\circ n $.

Для того чтобы тождество $ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 $ было верным, необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. То есть, угол $\alpha$ не должен быть таким, при котором $ \cos(\alpha) = 0 $ или $ \sin(\alpha) = 0 $.

Объединив эти два ограничения, мы исключаем все углы, которые являются кратными $ \frac{\pi}{2} $ (или $ 90^\circ $). Это углы, лежащие на осях координат в единичной окружности.

Следовательно, тождество верно для всех углов $\alpha$, кроме: $$ \alpha = \frac{\pi m}{2}, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$ В градусной мере это записывается как: $$ \alpha = 90^\circ m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$

Ответ: тождество верно для всех углов $\alpha$, для которых $ \alpha \neq \frac{\pi k}{2} $ (или $ \alpha \neq 90^\circ k $), где $ k $ — любое целое число.