Номер 19.13, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.13. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\text{ctg} x})^2;$

2) $y = \text{tg} x + \text{tg}|x|;$

3) $y = \sqrt{-\text{tg}^2 x};$

4) $y = \text{ctg} x - \sqrt{\text{ctg}^2 x};$

5) $y = |\text{tg} x|.$

1) $y = (\sqrt{\operatorname{ctg} x})^2$

Для построения графика данной функции сначала найдем ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $\operatorname{ctg} x \ge 0$.
Функция котангенс неотрицательна, когда ее аргумент $x$ находится в первой или третьей координатной четверти. Учитывая периодичность котангенса (период $T=\pi$), получаем, что $\operatorname{ctg} x \ge 0$ при $x \in (\pi k, \pi k + \frac{\pi}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На этой области определения функция упрощается: $y = (\sqrt{\operatorname{ctg} x})^2 = \operatorname{ctg} x$.
Таким образом, для построения графика необходимо взять стандартный график функции $y=\operatorname{ctg} x$ и оставить только те его части, которые соответствуют найденной области определения.

Ответ: График функции представляет собой набор ветвей графика $y = \operatorname{ctg} x$, определенных на промежутках $x \in (\pi k, \pi k + \frac{\pi}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Каждая ветвь начинается от вертикальной асимптоты $x=\pi k$ (стремясь к $+\infty$) и убывает до точки $(\pi k + \frac{\pi}{2}, 0)$.

2) $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}|x|$

Раскроем модуль в выражении, рассмотрев два случая.
1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x$. Это график тангенса, растянутый в два раза вдоль оси ординат. Область определения для этого случая: $x \ge 0, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \{0, 1, 2, ...\}$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}(-x)$. Так как тангенс является нечетной функцией ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$), получаем $y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$. Область определения для этого случая: $x < 0, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \{-1, -2, -3, ...\}$.
Таким образом, итоговый график является кусочно-заданным.

Ответ: Для $x < 0$ график функции совпадает с отрицательной частью оси абсцисс ($y=0$), за исключением выколотых точек $x=-\frac{\pi}{2}+\pi k$ при $k \le 0, k \in \mathbb{Z}$. Для $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y=2\operatorname{tg} x$.

3) $y = \sqrt{-\operatorname{tg}^2 x}$

Область определения функции задается условием $-\operatorname{tg}^2 x \ge 0$.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $\operatorname{tg}^2 x \ge 0$ для всех $x$, где тангенс определен. Следовательно, $-\operatorname{tg}^2 x \le 0$.
Единственный случай, когда условие $-\operatorname{tg}^2 x \ge 0$ выполняется, — это когда $-\operatorname{tg}^2 x = 0$, что эквивалентно $\operatorname{tg} x = 0$.
Уравнение $\operatorname{tg} x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для этих значений $x$ значение функции равно $y = \sqrt{-0^2} = 0$.
Таким образом, функция определена только в этих точках, и ее значение в них равно нулю.

Ответ: График функции состоит из множества изолированных точек, лежащих на оси абсцисс: $(\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \operatorname{ctg} x - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x}$

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2}=|a|$, преобразуем функцию: $y = \operatorname{ctg} x - |\operatorname{ctg} x|$.
Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $\operatorname{ctg} x$.
1. Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$, что соответствует промежуткам $x \in (\pi k, \pi k + \frac{\pi}{2}]$ для $k \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$. В этом случае $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$.
2. Если $\operatorname{ctg} x < 0$, что соответствует промежуткам $x \in (\pi k + \frac{\pi}{2}, \pi(k+1))$ для $k \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$. В этом случае $y = \operatorname{ctg} x - (-\operatorname{ctg} x) = 2\operatorname{ctg} x$.
График функции будет состоять из чередующихся участков.

Ответ: График функции на промежутках $(\pi k, \pi k + \frac{\pi}{2}]$ совпадает с осью абсцисс ($y=0$), а на промежутках $(\pi k + \frac{\pi}{2}, \pi(k+1))$ совпадает с графиком функции $y = 2\operatorname{ctg} x$ (график котангенса, растянутый в 2 раза по оси $Oy$).

5) $y = |\operatorname{tg} x|$

График функции $y = |f(x)|$ строится на основе графика $y=f(x)$. Часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс ($f(x) \ge 0$), остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси абсцисс ($f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси абсцисс.
1. Строим график функции $y = \operatorname{tg} x$. Он имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Части графика, где $\operatorname{tg} x \ge 0$ (интервалы $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$), оставляем без изменений.
3. Части графика, где $\operatorname{tg} x < 0$ (интервалы $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k)$), отражаем симметрично вверх относительно оси $Ox$. Это то же самое, что построить график $y=-\operatorname{tg} x$ на этих интервалах.
В результате все ветви графика окажутся в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Ответ: График функции $y = |\operatorname{tg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ отражением всех его частей, лежащих ниже оси $Ox$, в верхнюю полуплоскость. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ сохраняются.