Номер 19.10, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.10. Сравните:

1) $sin 78^\circ$ и $tg 78^\circ$;

2) $sin 40^\circ$ и $ctg 20^\circ$.

1) Сравните $sin 78°$ и $tg 78°$

Для сравнения этих двух значений воспользуемся определением тангенса: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.

В нашем случае $tg 78° = \frac{sin 78°}{cos 78°}$.

Таким образом, нам нужно сравнить $sin 78°$ и $\frac{sin 78°}{cos 78°}$.

Угол $78°$ находится в первой четверти ($0° < 78° < 90°$). В этой четверти значения синуса и косинуса положительны.

Так как $sin 78° > 0$, мы можем разделить обе части сравнения на это число, не меняя знака неравенства. Сравнение сводится к сравнению $1$ и $\frac{1}{cos 78°}$.

Для любого угла $\alpha$ в интервале $(0°; 90°)$ значение косинуса находится в интервале $(0; 1)$, то есть $0 < cos \alpha < 1$.

Следовательно, $0 < cos 78° < 1$.

Если мы делим $1$ на положительное число, меньшее единицы, результат будет больше единицы. Значит, $\frac{1}{cos 78°} > 1$.

Так как $\frac{1}{cos 78°} > 1$, то и $\frac{sin 78°}{cos 78°} > sin 78°$.

Отсюда следует, что $tg 78° > sin 78°$.

Ответ: $sin 78° < tg 78°$.

2) Сравните $sin 40°$ и $ctg 20°$

Для того чтобы сравнить эти значения, приведем их к более удобному для сравнения виду. Воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg \alpha = tg(90° - \alpha)$.

Применим эту формулу к $ctg 20°$:

$ctg 20° = tg(90° - 20°) = tg 70°$.

Теперь задача сводится к сравнению $sin 40°$ и $tg 70°$.

Оценим каждое из этих значений.

Значение синуса любого угла не превышает $1$. Поскольку $40° \ne 90°$, то $sin 40° < 1$.

Теперь рассмотрим $tg 70°$. Мы знаем, что $tg 45° = 1$. Функция тангенса является возрастающей на интервале $(0°; 90°)$.

Так как $70° > 45°$, то и $tg 70° > tg 45°$, что означает $tg 70° > 1$.

Мы получили два неравенства: $sin 40° < 1$ и $tg 70° > 1$.

Объединив их, получаем: $sin 40° < 1 < tg 70°$.

Следовательно, $sin 40° < tg 70°$. А так как $tg 70° = ctg 20°$, то $sin 40° < ctg 20°$.

Ответ: $sin 40° < ctg 20°$.