Номер 19.11, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.11. Постройте график функции:

1) $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1;$

2) $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right).$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графиков, отталкиваясь от графиков базовых функций $y = \text{ctg}(x)$ и $y = \text{tg}(x)$.

Построение графика этой функции можно разбить на следующие шаги:

1. Сначала строим график базовой функции $y_0 = \text{ctg}(x)$. Это убывающая периодическая функция с периодом $T = \pi$. Её вертикальные асимптоты задаются уравнением $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ключевые точки на интервале $(0, \pi)$ это $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.

2. Далее выполняем преобразование аргумента. Чтобы получить график функции $y_1 = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$, необходимо сдвинуть график $y_0 = \text{ctg}(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{4}$.
   При этом преобразовании все точки графика смещаются влево. Например:

   • Асимптота $x=0$ переходит в $x = -\frac{\pi}{4}$.

   • Асимптота $x=\pi$ переходит в $x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

   • Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{\pi}{4}, 0)$.

3. Последний шаг — прибавление константы к функции. Чтобы получить итоговый график $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$, нужно сдвинуть график $y_1 = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ вдоль оси ординат (Oy) вверх на 1.
   При этом преобразовании все точки графика смещаются вверх, а вертикальные асимптоты остаются на месте. Например:

   • Асимптоты остаются $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$.

   • Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4}, 0+1) = (\frac{\pi}{4}, 1)$.

   • Точка $(0, 1)$ на графике $y_1$ (исходная точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$) переходит в $(0, 1+1) = (0, 2)$.

   • Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$ на графике $y_1$ (исходная точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$) переходит в $(\frac{\pi}{2}, -1+1) = (\frac{\pi}{2}, 0)$.

Свойства итоговой функции:

• Область определения: $x + \frac{\pi}{4} \neq \pi k \implies x \neq \pi k - \frac{\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

• Период: $T = \pi$.

• Вертикальные асимптоты: $x = \pi k - \frac{\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$ получается из графика $y = \text{ctg}(x)$ путем параллельного переноса на вектор $\vec{p}(-\frac{\pi}{4}; 1)$, то есть сдвигом влево на $\frac{\pi}{4}$ и вверх на 1. На интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$ график проходит через точки $(0, 2)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Для удобства анализа преобразуем функцию, вынеся множитель 2 за скобки в аргументе: $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$.

Построение графика этой функции можно разбить на следующие шаги:

1. Сначала строим график базовой функции $y_0 = \text{tg}(x)$. Это возрастающая периодическая функция с периодом $T = \pi$. Её вертикальные асимптоты задаются уравнением $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ключевые точки на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ это $(-\frac{\pi}{4}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$.

2. Выполняем преобразование, связанное с множителем при $x$. Чтобы получить график функции $y_1 = \text{tg}(2x)$, необходимо сжать график $y_0 = \text{tg}(x)$ к оси ординат (Oy) в 2 раза.
   При этом преобразовании:

   • Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T' = \frac{\pi}{2}$.

   • Асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ переходят в $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

   • Точка $(0,0)$ остается на месте.

3. Последний шаг — сдвиг по оси Ox. Чтобы получить итоговый график $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$, нужно сдвинуть график $y_1 = \text{tg}(2x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) вправо на $\frac{\pi}{6}$.
   При этом преобразовании:

   • Асимптоты $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ переходят в $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} = \frac{3\pi + 2\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$.

   • Центр симметрии одной из ветвей (точка $(0,0)$ на графике $y_1$) переходит в точку $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

Найдем ключевые точки для одной ветви итогового графика (между асимптотами $x = -\frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{5\pi}{12}$):

• Пересечение с осью Ox: $2x - \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}$. Точка $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

• Точка, где $y=1$: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} \implies 2x = \frac{7\pi}{12} \implies x = \frac{7\pi}{24}$. Точка $(\frac{7\pi}{24}, 1)$.

• Точка, где $y=-1$: $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} \implies 2x = \frac{\pi}{12} \implies x = \frac{\pi}{24}$. Точка $(\frac{\pi}{24}, -1)$.

Свойства итоговой функции:

• Область определения: $2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

• Период: $T' = \frac{\pi}{2}$.

• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и последующим сдвигом вправо на $\frac{\pi}{6}$. Асимптоты находятся в точках $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$. На интервале $(-\frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12})$ график проходит через точки $(\frac{\pi}{24}, -1)$, $(\frac{\pi}{6}, 0)$ и $(\frac{7\pi}{24}, 1)$.