Номер 2, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же угла?

Для каких значений угла верно это тождество?

Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же угла?
Тождество, связывающее тангенс и косинус одного и того же угла $\alpha$, выводится из основного тригонометрического тождества: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.
Для получения искомого тождества необходимо разделить обе части основного тригонометрического тождества на $cos^2(\alpha)$, при условии, что $cos(\alpha) \neq 0$:
$\frac{sin^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} + \frac{cos^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$
Зная, что по определению тангенс угла есть отношение синуса к косинусу, то есть $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, мы можем заменить первое слагаемое на $tg^2(\alpha)$. Второе слагаемое равно 1.
В результате преобразований получаем искомое тождество:
$tg^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$
Ответ: $1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$.

Для каких значений угла верно это тождество?
Данное тождество справедливо для всех значений угла $\alpha$, для которых определены все входящие в него тригонометрические функции. В данном случае это тангенс $tg(\alpha)$ и выражение $\frac{1}{cos^2(\alpha)}$.
Функция $tg(\alpha)$ определена, когда ее знаменатель $cos(\alpha)$ не равен нулю. Аналогично, выражение $\frac{1}{cos^2(\alpha)}$ определено, когда $cos^2(\alpha) \neq 0$, что эквивалентно $cos(\alpha) \neq 0$.
Косинус угла $\alpha$ равен нулю, когда угол $\alpha$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ (или $90^\circ + 180^\circ k$ в градусах), где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, тождество верно для всех углов, кроме тех, для которых косинус обращается в ноль.
Ответ: Тождество верно для всех значений угла $\alpha$, при которых $cos(\alpha) \neq 0$, то есть для всех $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.