Номер 19.12, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.12. Постройте график функции:

1) $y = 2\operatorname{tg}\left(x + \frac{2\pi}{3}\right);$

2) $y = \operatorname{ctg}\left(3x - \frac{\pi}{12}\right).$

1) Построение графика функции $y = 2\tg(x + \frac{2\pi}{3})$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \tg(x)$ с помощью следующих геометрических преобразований:

1. Построить график функции $y = \tg(x)$.
2. Сдвинуть его влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{2\pi}{3}$ единиц, чтобы получить график функции $y = \tg(x + \frac{2\pi}{3})$.
3. Растянуть полученный график от оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в 2 раза, чтобы получить искомый график $y = 2\tg(x + \frac{2\pi}{3})$.

Проанализируем свойства функции для более точного построения:

• Область определения: Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
  $x + \frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$
  $x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n$
  $x \neq \frac{3\pi - 4\pi}{6} + \pi n$
  $x \neq -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Период: Коэффициент при $x$ равен 1, поэтому период функции не отличается от периода тангенса: $T = \pi$.
• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$):
  $2\tg(x + \frac{2\pi}{3}) = 0$
  $\tg(x + \frac{2\pi}{3}) = 0$
  $x + \frac{2\pi}{3} = \pi n$
  $x = -\frac{2\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Для построения одной из ветвей графика найдем несколько характерных точек. Возьмем интервал между асимптотами $x = -\frac{7\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$.

• Центральная точка (нуль функции): $x = -\frac{2\pi}{3}$, $y = 2\tg(-\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}) = 2\tg(0) = 0$. Точка $(-\frac{2\pi}{3}, 0)$.
• Промежуточная точка справа: $x = -\frac{5\pi}{12}$. $y = 2\tg(-\frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}) = 2\tg(-\frac{5\pi}{12} + \frac{8\pi}{12}) = 2\tg(\frac{3\pi}{12}) = 2\tg(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 1 = 2$. Точка $(-\frac{5\pi}{12}, 2)$.
• Промежуточная точка слева: $x = -\frac{11\pi}{12}$. $y = 2\tg(-\frac{11\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}) = 2\tg(-\frac{11\pi}{12} + \frac{8\pi}{12}) = 2\tg(-\frac{3\pi}{12}) = 2\tg(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot (-1) = -2$. Точка $(-\frac{11\pi}{12}, -2)$.

Для построения графика сначала наносятся вертикальные асимптоты, затем отмечаются найденные точки, которые соединяются плавной возрастающей кривой (ветвью тангенсоиды). Остальные ветви получаются параллельным переносом построенной ветви на $\pi n$ вдоль оси абсцисс.

Ответ: График функции $y = 2\tg(x + \frac{2\pi}{3})$ — это график функции $y = \tg(x)$, сдвинутый по оси $Ox$ влево на $\frac{2\pi}{3}$ и растянутый в 2 раза вдоль оси $Oy$. Период функции $T=\pi$. Вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, нули функции находятся в точках $x = -\frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Построение графика функции $y = \ctg(3x - \frac{\pi}{12})$

Для удобства анализа преобразуем выражение в аргументе функции, вынеся коэффициент при $x$ за скобки: $y = \ctg(3(x - \frac{\pi}{36}))$.

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \ctg(x)$ с помощью следующих геометрических преобразований:

1. Построить график функции $y = \ctg(x)$.
2. Сжать его к оси $Oy$ в 3 раза, чтобы получить график функции $y = \ctg(3x)$.
3. Сдвинуть полученный график вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{36}$ единиц, чтобы получить искомый график $y = \ctg(3(x - \frac{\pi}{36}))$.

Проанализируем свойства функции для более точного построения:

• Область определения: Аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
  $3x - \frac{\pi}{12} \neq \pi n$
  $3x \neq \frac{\pi}{12} + \pi n$
  $x \neq \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Период: Период базовой функции $y=\ctg(x)$ равен $\pi$. Коэффициент при $x$ равен 3, следовательно, период данной функции $T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$):
  $\ctg(3x - \frac{\pi}{12}) = 0$
  $3x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
  $3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n = \frac{6\pi + \pi}{12} + \pi n = \frac{7\pi}{12} + \pi n$
  $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Для построения одной из ветвей графика найдем несколько характерных точек. Возьмем интервал между асимптотами $x = \frac{\pi}{36}$ (при $n=0$) и $x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{36}$ (при $n=1$).

• Центральная точка (нуль функции): $x = \frac{7\pi}{36}$. $y = \ctg(3 \cdot \frac{7\pi}{36} - \frac{\pi}{12}) = \ctg(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = \ctg(\frac{6\pi}{12}) = \ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{7\pi}{36}, 0)$.
• Точка, где значение функции равно 1: $3x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow 3x = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{9}$. Точка $(\frac{\pi}{9}, 1)$.
• Точка, где значение функции равно -1: $3x - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow 3x = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{18}$. Точка $(\frac{5\pi}{18}, -1)$.

Для построения графика сначала наносятся вертикальные асимптоты, затем отмечаются найденные точки, которые соединяются плавной убывающей кривой (ветвью котангенсоиды). Остальные ветви получаются параллельным переносом построенной ветви на $\frac{\pi}{3} n$ вдоль оси абсцисс.

Ответ: График функции $y = \ctg(3x - \frac{\pi}{12})$ — это график функции $y = \ctg(x)$, сжатый в 3 раза к оси $Oy$ и сдвинутый по оси $Ox$ вправо на $\frac{\pi}{36}$. Период функции $T=\frac{\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, нули функции находятся в точках $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.