Страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.4. Какие из чисел $ -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, 3\pi: $

1) являются нулями функции $ y = \operatorname{tg} x; $

2) не принадлежат области определения функции $ y = \operatorname{tg} x? $

1) являются нулями функции $y = \tg x$;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. В данном случае нам нужно найти такие числа из списка, для которых $y = \tg x = 0$.

Функция тангенса определяется через синус и косинус как $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Равенство $\tg x = 0$ выполняется тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x = 0$ и $\cos x \neq 0$.

Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). При этих значениях $x$ косинус равен $\pm 1$, то есть не равен нулю.

Теперь выберем из предложенного списка числа, которые имеют вид $k\pi$:

• $-\frac{3\pi}{2}$ не является целым кратным $\pi$.
• $-\pi = (-1) \cdot \pi$. Это нуль функции.
• $-\frac{\pi}{2}$ не является целым кратным $\pi$.
• $0 = 0 \cdot \pi$. Это нуль функции.
• $\frac{\pi}{3}$ не является целым кратным $\pi$.
• $\frac{\pi}{2}$ не является целым кратным $\pi$.
• $\frac{5\pi}{2}$ не является целым кратным $\pi$.
• $3\pi = 3 \cdot \pi$. Это нуль функции.

Ответ: $-\pi, 0, 3\pi$.

2) не принадлежат области определения функции $y = \tg x$?

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена (имеет смысл).

Функция $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена, когда ее знаменатель равен нулю, то есть когда $\cos x = 0$.

Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь выберем из предложенного списка числа, которые имеют вид $\frac{\pi}{2} + k\pi$:

• $-\frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} + (-2)\pi$. Это точка, где функция не определена.
• $-\pi$. Здесь $\cos(-\pi) = -1 \neq 0$. Точка принадлежит области определения.
• $-\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2} + (-1)\pi$. Это точка, где функция не определена.
• $0$. Здесь $\cos(0) = 1 \neq 0$. Точка принадлежит области определения.
• $\frac{\pi}{3}$. Здесь $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \neq 0$. Точка принадлежит области определения.
• $\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi$. Это точка, где функция не определена.
• $\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi$. Это точка, где функция не определена.
• $3\pi$. Здесь $\cos(3\pi) = -1 \neq 0$. Точка принадлежит области определения.

Ответ: $-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$.

19.5. Сравните:

1) tg $(-38^{\circ})$ и tg $(-42^{\circ})$;

2) tg $\frac{2\pi}{5}$ и tg $\frac{7\pi}{15}$;

3) tg $130^{\circ}$ и tg $150^{\circ}$;

4) tg $0,9\pi$ и tg $1,2\pi$;

5) tg $1$ и tg $1,5$;

6) ctg $24^{\circ}$ и ctg $28^{\circ}$;

7) ctg $\frac{\pi}{7}$ и ctg $\frac{3\pi}{7}$;

8) ctg $(-40^{\circ})$ и ctg $(-60^{\circ})$;

9) ctg $0,4\pi$ и ctg $1,4\pi$;

10) ctg $2$ и ctg $3$.

1) Сравним $\operatorname{tg}(-38^\circ)$ и $\operatorname{tg}(-42^\circ)$. Функция $y = \operatorname{tg}(x)$ является нечетной, то есть $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$, и возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то есть на $(-90^\circ; 90^\circ)$. Оба угла, $-38^\circ$ и $-42^\circ$, принадлежат этому интервалу. Поскольку $-38^\circ > -42^\circ$, и функция на этом интервале возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $\operatorname{tg}(-38^\circ) > \operatorname{tg}(-42^\circ)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(-38^\circ) > \operatorname{tg}(-42^\circ)$.

2) Сравним $\operatorname{tg}\frac{2\pi}{5}$ и $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{15}$. Для сравнения аргументов приведем их к общему знаменателю: $\frac{2\pi}{5} = \frac{6\pi}{15}$. Теперь задача сводится к сравнению $\operatorname{tg}\frac{6\pi}{15}$ и $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{15}$. Оба угла, $\frac{6\pi}{15}$ и $\frac{7\pi}{15}$, находятся в первой четверти, то есть в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \operatorname{tg}(x)$ возрастает. Так как $\frac{7\pi}{15} > \frac{6\pi}{15}$, то $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{15} > \operatorname{tg}\frac{6\pi}{15}$.
Ответ: $\operatorname{tg}\frac{2\pi}{5} < \operatorname{tg}\frac{7\pi}{15}$.

3) Сравним $\operatorname{tg}(130^\circ)$ и $\operatorname{tg}(150^\circ)$. Углы $130^\circ$ и $150^\circ$ принадлежат второй четверти, интервалу $(90^\circ, 180^\circ)$. Этот интервал является частью интервала $(90^\circ, 270^\circ)$, на котором функция $y = \operatorname{tg}(x)$ строго возрастает. Поскольку $150^\circ > 130^\circ$, то из свойства возрастания функции следует, что $\operatorname{tg}(150^\circ) > \operatorname{tg}(130^\circ)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(130^\circ) < \operatorname{tg}(150^\circ)$.

4) Сравним $\operatorname{tg}(0,9\pi)$ и $\operatorname{tg}(1,2\pi)$. Определим, в каких четвертях находятся углы. Угол $0,9\pi$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть во второй четверти. Значение тангенса в этой четверти отрицательно: $\operatorname{tg}(0,9\pi) < 0$. Угол $1,2\pi$ находится в интервале $(\pi; \frac{3\pi}{2})$, то есть в третьей четверти. Значение тангенса в этой четверти положительно: $\operatorname{tg}(1,2\pi) > 0$. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\operatorname{tg}(1,2\pi) > \operatorname{tg}(0,9\pi)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(0,9\pi) < \operatorname{tg}(1,2\pi)$.

5) Сравним $\operatorname{tg}(1)$ и $\operatorname{tg}(1,5)$. Аргументы даны в радианах. Учитывая, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, оба угла, 1 и 1,5, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция $y = \operatorname{tg}(x)$ возрастает. Так как $1,5 > 1$, то $\operatorname{tg}(1,5) > \operatorname{tg}(1)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(1) < \operatorname{tg}(1,5)$.

6) Сравним $\operatorname{ctg}(24^\circ)$ и $\operatorname{ctg}(28^\circ)$. Функция $y = \operatorname{ctg}(x)$ является убывающей на интервале $(0; \pi)$, то есть на $(0^\circ; 180^\circ)$. Оба угла, $24^\circ$ и $28^\circ$, принадлежат этому интервалу. Поскольку $28^\circ > 24^\circ$, а функция на этом интервале убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\operatorname{ctg}(28^\circ) < \operatorname{ctg}(24^\circ)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(24^\circ) > \operatorname{ctg}(28^\circ)$.

7) Сравним $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{7}$ и $\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{7}$. Оба угла, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{7}$, принадлежат интервалу $(0; \pi)$. На этом интервале функция $y = \operatorname{ctg}(x)$ убывает. Сравним аргументы: $\frac{3\pi}{7} > \frac{\pi}{7}$. Поскольку функция убывает, $\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{7} < \operatorname{ctg}\frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{7} > \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{7}$.

8) Сравним $\operatorname{ctg}(-40^\circ)$ и $\operatorname{ctg}(-60^\circ)$. Функция $y = \operatorname{ctg}(x)$ является убывающей на интервале $(-\pi; 0)$, то есть на $(-180^\circ; 0^\circ)$. Оба угла, $-40^\circ$ и $-60^\circ$, принадлежат этому интервалу. Сравним аргументы: $-40^\circ > -60^\circ$. Поскольку функция котангенса на этом интервале убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\operatorname{ctg}(-40^\circ) < \operatorname{ctg}(-60^\circ)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(-40^\circ) < \operatorname{ctg}(-60^\circ)$.

9) Сравним $\operatorname{ctg}(0,4\pi)$ и $\operatorname{ctg}(1,4\pi)$. Функция котангенс имеет период $\pi$. Это означает, что $\operatorname{ctg}(x + \pi n) = \operatorname{ctg}(x)$ для любого целого $n$. Представим $1,4\pi$ как $0,4\pi + \pi$. Тогда $\operatorname{ctg}(1,4\pi) = \operatorname{ctg}(0,4\pi + \pi) = \operatorname{ctg}(0,4\pi)$. Значения функций равны.
Ответ: $\operatorname{ctg}(0,4\pi) = \operatorname{ctg}(1,4\pi)$.

10) Сравним $\operatorname{ctg}(2)$ и $\operatorname{ctg}(3)$. Аргументы даны в радианах. Учитывая, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, оба угла, 2 и 3, принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \pi)$. Этот интервал является частью интервала $(0; \pi)$, на котором функция $y = \operatorname{ctg}(x)$ убывает. Сравним аргументы: $3 > 2$. Поскольку функция убывает, $\operatorname{ctg}(3) < \operatorname{ctg}(2)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(2) > \operatorname{ctg}(3)$.

19.6. Сравните:

1) $tg 100^{\circ}$ и $tg 92^{\circ}$;

2) $ctg 100^{\circ}$ и $ctg 92^{\circ}$;

3) $tg \frac{2\pi}{9}$ и $tg \frac{5\pi}{18}$;

4) $ctg \frac{3\pi}{8}$ и $ctg \frac{5\pi}{12}$;

5) $tg (-1)$ и $tg (-1,2)$;

6) $ctg (-3)$ и $ctg (-3,1)$.

1) tg 100° и tg 92°

Оба угла, $100°$ и $92°$, принадлежат второй координатной четверти, то есть находятся в интервале $(90°; 180°)$. На этом интервале функция $y = \mathrm{tg}(x)$ является возрастающей. Поскольку $100° > 92°$, то, в силу возрастания функции, значение тангенса для большего угла будет больше. Следовательно, $\mathrm{tg}(100°) > \mathrm{tg}(92°)$.

Ответ: $\mathrm{tg}(100°) > \mathrm{tg}(92°)$.

2) ctg 100° и ctg 92°

Оба угла, $100°$ и $92°$, принадлежат второй координатной четверти. Функция $y = \mathrm{ctg}(x)$ является убывающей на всей своей области определения, в том числе и на интервале $(0°; 180°)$. Поскольку $100° > 92°$, то, в силу убывания функции, значение котангенса для большего угла будет меньше. Следовательно, $\mathrm{ctg}(100°) < \mathrm{ctg}(92°)$.

Ответ: $\mathrm{ctg}(100°) < \mathrm{ctg}(92°)$.

3) tg $\frac{2\pi}{9}$ и tg $\frac{5\pi}{18}$

Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{2\pi}{9} = \frac{4\pi}{18}$. Теперь нам нужно сравнить $\mathrm{tg}(\frac{4\pi}{18})$ и $\mathrm{tg}(\frac{5\pi}{18})$. Оба угла, $\frac{4\pi}{18}$ и $\frac{5\pi}{18}$, принадлежат первой координатной четверти, так как $0 < \frac{4\pi}{18} < \frac{5\pi}{18} < \frac{\pi}{2}$ (где $\frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{18}$). На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция $y = \mathrm{tg}(x)$ является возрастающей. Поскольку $\frac{5\pi}{18} > \frac{4\pi}{18}$, то $\mathrm{tg}(\frac{5\pi}{18}) > \mathrm{tg}(\frac{4\pi}{18})$. Таким образом, $\mathrm{tg}(\frac{5\pi}{18}) > \mathrm{tg}(\frac{2\pi}{9})$.

Ответ: $\mathrm{tg}(\frac{2\pi}{9}) < \mathrm{tg}(\frac{5\pi}{18})$.

4) ctg $\frac{3\pi}{8}$ и ctg $\frac{5\pi}{12}$

Приведем углы к общему знаменателю 24: $\frac{3\pi}{8} = \frac{9\pi}{24}$ и $\frac{5\pi}{12} = \frac{10\pi}{24}$. Оба угла принадлежат первой координатной четверти, так как $0 < \frac{9\pi}{24} < \frac{10\pi}{24} < \frac{\pi}{2}$ (где $\frac{\pi}{2} = \frac{12\pi}{24}$). На интервале $(0; \pi)$ функция $y = \mathrm{ctg}(x)$ является убывающей. Поскольку $\frac{10\pi}{24} > \frac{9\pi}{24}$, то, в силу убывания функции, $\mathrm{ctg}(\frac{10\pi}{24}) < \mathrm{ctg}(\frac{9\pi}{24})$. Следовательно, $\mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{12}) < \mathrm{ctg}(\frac{3\pi}{8})$.

Ответ: $\mathrm{ctg}(\frac{3\pi}{8}) > \mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{12})$.

5) tg (–1) и tg (–1,2)

Аргументы -1 и -1,2 — это углы, выраженные в радианах. Приблизительное значение $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Таким образом, оба угла принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, так как $-\frac{\pi}{2} < -1,2 < -1 < 0$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $y = \mathrm{tg}(x)$ является возрастающей. Поскольку $-1 > -1,2$, то $\mathrm{tg}(-1) > \mathrm{tg}(-1,2)$.

Ответ: $\mathrm{tg}(-1) > \mathrm{tg}(-1,2)$.

6) ctg (–3) и ctg (–3,1)

Аргументы -3 и -3,1 — это углы, выраженные в радианах. Приблизительное значение $\pi \approx 3,14$. Таким образом, оба угла принадлежат интервалу $(-\pi; 0)$, так как $-\pi < -3,1 < -3 < 0$. На интервале $(-\pi; 0)$ функция $y = \mathrm{ctg}(x)$ является убывающей. Поскольку $-3 > -3,1$, то, в силу убывания функции, $\mathrm{ctg}(-3) < \mathrm{ctg}(-3,1)$.

Ответ: $\mathrm{ctg}(-3) < \mathrm{ctg}(-3,1)$.

19.7. Постройте график функции:

1) $y = -\text{tg } x;$

2) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

3) $y = \text{tg } 3x.$

1) $y = -\tg x$

Для построения графика функции $y = -\tg x$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Базовый график. График функции $y = \tg x$ (тангенсоида) представляет собой совокупность ветвей, разделенных вертикальными асимптотами.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти значения $x$ являются вертикальными асимптотами.
• Период функции: $T = \pi$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция является нечетной и возрастающей на каждом интервале области определения.
• Контрольные точки для одной ветви на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$: $(-\frac{\pi}{4}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$.

2. Преобразование. График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). В нашем случае $f(x) = \tg x$.

3. Построение графика $y = -\tg x$.

• Отражаем график $y = \tg x$ относительно оси Ox.
• Асимптоты остаются прежними: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции также не меняются: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Поскольку функция $y = \tg x$ возрастающая, то после отражения функция $y = -\tg x$ становится убывающей на каждом интервале области определения.
• Контрольные точки для $y = -\tg x$ получаются изменением знака ординаты: $(-\frac{\pi}{4}, -(-1)) = (-\frac{\pi}{4}, 1)$, $(0, -0) = (0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, -1)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -\tg x$, нужно построить график функции $y = \tg x$ и отразить его симметрично относительно оси Ox. В результате возрастающие ветви тангенсоиды станут убывающими.

2) $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$

Для построения графика функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Базовый график. Используем график $y = \tg x$ с его основными свойствами, перечисленными в предыдущем пункте.

2. Преобразование. График функции $y = f(x-a)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (оси Ox). В нашем случае $a = \frac{\pi}{4}$. Поскольку $a > 0$, сдвиг происходит вправо на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

3. Построение графика $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

• Сдвигаем график $y = \tg x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.
• Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ смещаются вправо и становятся $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции $x = \pi k$ смещаются вправо и становятся $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Центр симметрии, который для $y = \tg x$ был в точке $(0, 0)$, теперь находится в точке $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Контрольные точки также сдвигаются: $(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}, -1) = (0, -1)$, $(0+\frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}, 1) = (\frac{\pi}{2}, 1)$.
• Период функции не изменяется и остается равным $\pi$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$, нужно построить график $y = \tg x$ и сдвинуть его вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.

3) $y = \tg 3x$

Для построения графика функции $y = \tg 3x$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Базовый график. Используем график $y = \tg x$ с его основными свойствами.

2. Преобразование. График функции $y = f(kx)$ получается из графика $y = f(x)$ путем горизонтального сжатия или растяжения. В нашем случае $k = 3$. Поскольку $|k| > 1$, происходит сжатие графика к оси ординат (оси Oy) в 3 раза.

3. Построение графика $y = \tg 3x$.

• Выполняем сжатие графика $y = \tg x$ к оси Oy в 3 раза.
• Период функции изменяется. Новый период $T' = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{3}$.
• Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ сжимаются к оси Oy. Их новое положение находится из условия $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции $x = \pi k$ также сжимаются. Новые нули находятся из условия $3x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Точка $(0, 0)$ остается на месте.
• Контрольные точки сжимаются по горизонтали: точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ на графике $y=\tg x$ переходит в точку $(\frac{\pi}{12}, 1)$ на графике $y = \tg 3x$, так как $3 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$. Аналогично, $(-\frac{\pi}{4}, -1)$ переходит в $(-\frac{\pi}{12}, -1)$. Ветви графика становятся "круче".

Ответ: Чтобы построить график функции $y = \tg 3x$, нужно построить график $y = \tg x$ и сжать его по горизонтали к оси Oy в 3 раза. Период функции уменьшится в 3 раза и станет равен $\frac{\pi}{3}$.

19.8. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{ctg} x - 1$;

2) $y = \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$.

1) Для построения графика функции $y = \ctg x - 1$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = \ctg x$.

Заданная функция имеет вид $y = f(x) + a$, где $f(x) = \ctg x$ и $a = -1$. Такое преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = \ctg x$ вдоль оси ординат ($Oy$) на $|a|=1$ единицу вниз.

Алгоритм построения:

1. Построим график основной функции $y = \ctg x$. Это периодическая функция с основным периодом $T=\pi$. Ее область определения $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Прямые $x = \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика. На основном интервале $(0, \pi)$ функция убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Ключевые точки на этом интервале: $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.

2. Выполним сдвиг построенного графика на 1 единицу вниз. Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y = \ctg x$ переместится в точку $(x_0, y_0 - 1)$.

Проанализируем, как изменятся свойства функции:

Период: Останется без изменений, $T=\pi$.

Асимптоты: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальных асимптот, они остаются прежними: $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Нули функции: Нули (точки пересечения с осью $Ox$) находятся из условия $y=0$, то есть $\ctg x - 1 = 0 \Rightarrow \ctg x = 1$. Отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ключевые точки: Ключевые точки графика $y = \ctg x$ смещаются вниз на 1. Например, для интервала $(0, \pi)$: - точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4}, 0)$; - точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, -1)$; - точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{4}, -2)$.

Ответ: График функции $y = \ctg x - 1$ получается из графика $y = \ctg x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

2) Для построения графика функции $y = \ctg(x + \frac{\pi}{3})$ также используем преобразование графика $y = \ctg x$.

Заданная функция имеет вид $y = f(x + b)$, где $f(x) = \ctg x$ и $b = \frac{\pi}{3}$. Такое преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = \ctg x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $b = \frac{\pi}{3}$ единиц влево.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y = \ctg x$ с ее асимптотами $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Выполняем сдвиг построенного графика на $\frac{\pi}{3}$ влево. Вместе с графиком сдвигаются и его асимптоты.

Проанализируем, как изменятся свойства функции:

Период: Останется без изменений, $T=\pi$.

Асимптоты: Сдвигаются влево на $\frac{\pi}{3}$. Их уравнения получаются из условия $x + \frac{\pi}{3} = \pi k$, то есть $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Например, асимптоты будут проходить через точки $x = -\frac{\pi}{3}$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \frac{5\pi}{3}$ и т.д.

Нули функции: Сдвигаются влево на $\frac{\pi}{3}$. Исходные нули $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Новые нули находятся из условия $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ключевые точки: Абсциссы ключевых точек уменьшаются на $\frac{\pi}{3}$, ординаты остаются прежними. Основная ветвь, которая для $y=\ctg x$ была на интервале $(0, \pi)$, теперь будет на интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \ctg(x + \frac{\pi}{3})$ получается из графика $y = \ctg x$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево вдоль оси $Ox$.

3) Для построения графика функции $y = \ctg \frac{x}{2}$ используем преобразование графика $y = \ctg x$.

Заданная функция имеет вид $y = f(kx)$, где $f(x) = \ctg x$ и $k = \frac{1}{2}$. Такое преобразование представляет собой горизонтальное растяжение графика функции $y = \ctg x$ от оси ординат ($Oy$) в $\frac{1}{k} = 2$ раза.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y = \ctg x$.

2. Выполняем растяжение этого графика в 2 раза вдоль оси $Ox$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y = \ctg x$ переместится в точку $(2x_0, y_0)$.

Проанализируем, как изменятся свойства функции:

Период: Увеличится в 2 раза. Новый период $T' = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

Асимптоты: Расстояние между асимптотами увеличится в 2 раза. Их уравнения получаются из условия $\frac{x}{2} = \pi k$, то есть $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Асимптотами будут прямые $x=0$, $x=2\pi$, $x=-2\pi$ и т.д.

Нули функции: Растягиваются в 2 раза от оси $Oy$. Исходные нули $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Новые нули находятся из условия $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ключевые точки: Абсциссы ключевых точек умножаются на 2, ординаты остаются прежними. Для основной ветви на интервале $(0, 2\pi)$: - точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ из графика $y=\ctg x$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 1)$; - точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\pi, 0)$; - точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \ctg \frac{x}{2}$ получается из графика $y = \ctg x$ путем его растяжения в 2 раза от оси $Oy$ вдоль оси $Ox$.

19.9. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \frac{2}{3} \operatorname{tg} 80^{\circ}$;

2) $\cos \alpha = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{18}$;

3) $\cos \alpha = \operatorname{tg} \frac{\pi}{9}$?

1) Чтобы равенство $\sin \alpha = \frac{2}{3} \tg 80^\circ$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения в правой части принадлежало области значений функции синус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение правой части. Угол $80^\circ$ принадлежит первой четверти, где тангенс положителен и является возрастающей функцией. Мы знаем, что $\tg 45^\circ = 1$. Так как $80^\circ > 45^\circ$, то $\tg 80^\circ > \tg 45^\circ = 1$. Более того, $\tg 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1,732$. Поскольку $80^\circ > 60^\circ$, то $\tg 80^\circ > \sqrt{3}$.

Тогда для правой части равенства имеем оценку:

$\frac{2}{3} \tg 80^\circ > \frac{2}{3} \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Так как $\sqrt{3} > \frac{3}{2}$ (потому что $3 > \frac{9}{4}$), то $\frac{2\sqrt{3}}{3} > \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$.

Следовательно, значение выражения $\frac{2}{3} \tg 80^\circ$ больше 1. Поскольку значение $\sin \alpha$ не может превышать 1, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.

2) Чтобы равенство $\cos \alpha = \ctg \frac{\pi}{18}$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения в правой части принадлежало области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение правой части. Переведем угол из радиан в градусы: $\frac{\pi}{18} \text{ рад} = \frac{180^\circ}{18} = 10^\circ$.

Таким образом, нам нужно оценить $\ctg 10^\circ$. Угол $10^\circ$ принадлежит первой четверти, где котангенс положителен и является убывающей функцией. Мы знаем, что $\ctg 45^\circ = 1$. Так как $10^\circ < 45^\circ$, то $\ctg 10^\circ > \ctg 45^\circ = 1$.

Следовательно, значение выражения $\ctg \frac{\pi}{18}$ больше 1. Поскольку значение $\cos \alpha$ не может превышать 1, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.

3) Чтобы равенство $\cos \alpha = \tg \frac{\pi}{9}$ было возможным, необходимо, чтобы значение выражения в правой части принадлежало области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение правой части. Переведем угол из радиан в градусы: $\frac{\pi}{9} \text{ рад} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$.

Таким образом, нам нужно оценить $\tg 20^\circ$. Угол $20^\circ$ принадлежит первой четверти, где тангенс положителен и является возрастающей функцией. Мы знаем, что $\tg 0^\circ = 0$ и $\tg 45^\circ = 1$. Так как $0^\circ < 20^\circ < 45^\circ$, то выполняется неравенство $\tg 0^\circ < \tg 20^\circ < \tg 45^\circ$, то есть $0 < \tg 20^\circ < 1$.

Значение выражения $\tg \frac{\pi}{9}$ находится в интервале $(0; 1)$, который полностью входит в отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого данное равенство выполняется (например, $\alpha = \arccos(\tg \frac{\pi}{9})$).

Ответ: да, возможно.

19.10. Сравните:

1) $sin 78^\circ$ и $tg 78^\circ$;

2) $sin 40^\circ$ и $ctg 20^\circ$.

1) Сравните $sin 78°$ и $tg 78°$

Для сравнения этих двух значений воспользуемся определением тангенса: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.

В нашем случае $tg 78° = \frac{sin 78°}{cos 78°}$.

Таким образом, нам нужно сравнить $sin 78°$ и $\frac{sin 78°}{cos 78°}$.

Угол $78°$ находится в первой четверти ($0° < 78° < 90°$). В этой четверти значения синуса и косинуса положительны.

Так как $sin 78° > 0$, мы можем разделить обе части сравнения на это число, не меняя знака неравенства. Сравнение сводится к сравнению $1$ и $\frac{1}{cos 78°}$.

Для любого угла $\alpha$ в интервале $(0°; 90°)$ значение косинуса находится в интервале $(0; 1)$, то есть $0 < cos \alpha < 1$.

Следовательно, $0 < cos 78° < 1$.

Если мы делим $1$ на положительное число, меньшее единицы, результат будет больше единицы. Значит, $\frac{1}{cos 78°} > 1$.

Так как $\frac{1}{cos 78°} > 1$, то и $\frac{sin 78°}{cos 78°} > sin 78°$.

Отсюда следует, что $tg 78° > sin 78°$.

Ответ: $sin 78° < tg 78°$.

2) Сравните $sin 40°$ и $ctg 20°$

Для того чтобы сравнить эти значения, приведем их к более удобному для сравнения виду. Воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg \alpha = tg(90° - \alpha)$.

Применим эту формулу к $ctg 20°$:

$ctg 20° = tg(90° - 20°) = tg 70°$.

Теперь задача сводится к сравнению $sin 40°$ и $tg 70°$.

Оценим каждое из этих значений.

Значение синуса любого угла не превышает $1$. Поскольку $40° \ne 90°$, то $sin 40° < 1$.

Теперь рассмотрим $tg 70°$. Мы знаем, что $tg 45° = 1$. Функция тангенса является возрастающей на интервале $(0°; 90°)$.

Так как $70° > 45°$, то и $tg 70° > tg 45°$, что означает $tg 70° > 1$.

Мы получили два неравенства: $sin 40° < 1$ и $tg 70° > 1$.

Объединив их, получаем: $sin 40° < 1 < tg 70°$.

Следовательно, $sin 40° < tg 70°$. А так как $tg 70° = ctg 20°$, то $sin 40° < ctg 20°$.

Ответ: $sin 40° < ctg 20°$.

19.11. Постройте график функции:

1) $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1;$

2) $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right).$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графиков, отталкиваясь от графиков базовых функций $y = \text{ctg}(x)$ и $y = \text{tg}(x)$.

Построение графика этой функции можно разбить на следующие шаги:

1. Сначала строим график базовой функции $y_0 = \text{ctg}(x)$. Это убывающая периодическая функция с периодом $T = \pi$. Её вертикальные асимптоты задаются уравнением $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ключевые точки на интервале $(0, \pi)$ это $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.

2. Далее выполняем преобразование аргумента. Чтобы получить график функции $y_1 = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$, необходимо сдвинуть график $y_0 = \text{ctg}(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{4}$.
   При этом преобразовании все точки графика смещаются влево. Например:

   • Асимптота $x=0$ переходит в $x = -\frac{\pi}{4}$.

   • Асимптота $x=\pi$ переходит в $x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

   • Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{\pi}{4}, 0)$.

3. Последний шаг — прибавление константы к функции. Чтобы получить итоговый график $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$, нужно сдвинуть график $y_1 = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ вдоль оси ординат (Oy) вверх на 1.
   При этом преобразовании все точки графика смещаются вверх, а вертикальные асимптоты остаются на месте. Например:

   • Асимптоты остаются $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$.

   • Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4}, 0+1) = (\frac{\pi}{4}, 1)$.

   • Точка $(0, 1)$ на графике $y_1$ (исходная точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$) переходит в $(0, 1+1) = (0, 2)$.

   • Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$ на графике $y_1$ (исходная точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$) переходит в $(\frac{\pi}{2}, -1+1) = (\frac{\pi}{2}, 0)$.

Свойства итоговой функции:

• Область определения: $x + \frac{\pi}{4} \neq \pi k \implies x \neq \pi k - \frac{\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

• Период: $T = \pi$.

• Вертикальные асимптоты: $x = \pi k - \frac{\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$ получается из графика $y = \text{ctg}(x)$ путем параллельного переноса на вектор $\vec{p}(-\frac{\pi}{4}; 1)$, то есть сдвигом влево на $\frac{\pi}{4}$ и вверх на 1. На интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$ график проходит через точки $(0, 2)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Для удобства анализа преобразуем функцию, вынеся множитель 2 за скобки в аргументе: $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$.

Построение графика этой функции можно разбить на следующие шаги:

1. Сначала строим график базовой функции $y_0 = \text{tg}(x)$. Это возрастающая периодическая функция с периодом $T = \pi$. Её вертикальные асимптоты задаются уравнением $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ключевые точки на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ это $(-\frac{\pi}{4}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$.

2. Выполняем преобразование, связанное с множителем при $x$. Чтобы получить график функции $y_1 = \text{tg}(2x)$, необходимо сжать график $y_0 = \text{tg}(x)$ к оси ординат (Oy) в 2 раза.
   При этом преобразовании:

   • Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T' = \frac{\pi}{2}$.

   • Асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ переходят в $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

   • Точка $(0,0)$ остается на месте.

3. Последний шаг — сдвиг по оси Ox. Чтобы получить итоговый график $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$, нужно сдвинуть график $y_1 = \text{tg}(2x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) вправо на $\frac{\pi}{6}$.
   При этом преобразовании:

   • Асимптоты $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ переходят в $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} = \frac{3\pi + 2\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$.

   • Центр симметрии одной из ветвей (точка $(0,0)$ на графике $y_1$) переходит в точку $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

Найдем ключевые точки для одной ветви итогового графика (между асимптотами $x = -\frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{5\pi}{12}$):

• Пересечение с осью Ox: $2x - \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}$. Точка $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

• Точка, где $y=1$: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} \implies 2x = \frac{7\pi}{12} \implies x = \frac{7\pi}{24}$. Точка $(\frac{7\pi}{24}, 1)$.

• Точка, где $y=-1$: $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} \implies 2x = \frac{\pi}{12} \implies x = \frac{\pi}{24}$. Точка $(\frac{\pi}{24}, -1)$.

Свойства итоговой функции:

• Область определения: $2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

• Период: $T' = \frac{\pi}{2}$.

• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и последующим сдвигом вправо на $\frac{\pi}{6}$. Асимптоты находятся в точках $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$. На интервале $(-\frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12})$ график проходит через точки $(\frac{\pi}{24}, -1)$, $(\frac{\pi}{6}, 0)$ и $(\frac{7\pi}{24}, 1)$.

19.12. Постройте график функции:

1) $y = 2\operatorname{tg}\left(x + \frac{2\pi}{3}\right);$

2) $y = \operatorname{ctg}\left(3x - \frac{\pi}{12}\right).$

1) Построение графика функции $y = 2\tg(x + \frac{2\pi}{3})$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \tg(x)$ с помощью следующих геометрических преобразований:

1. Построить график функции $y = \tg(x)$.
2. Сдвинуть его влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{2\pi}{3}$ единиц, чтобы получить график функции $y = \tg(x + \frac{2\pi}{3})$.
3. Растянуть полученный график от оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в 2 раза, чтобы получить искомый график $y = 2\tg(x + \frac{2\pi}{3})$.

Проанализируем свойства функции для более точного построения:

• Область определения: Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
  $x + \frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$
  $x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n$
  $x \neq \frac{3\pi - 4\pi}{6} + \pi n$
  $x \neq -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Период: Коэффициент при $x$ равен 1, поэтому период функции не отличается от периода тангенса: $T = \pi$.
• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$):
  $2\tg(x + \frac{2\pi}{3}) = 0$
  $\tg(x + \frac{2\pi}{3}) = 0$
  $x + \frac{2\pi}{3} = \pi n$
  $x = -\frac{2\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Для построения одной из ветвей графика найдем несколько характерных точек. Возьмем интервал между асимптотами $x = -\frac{7\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$.

• Центральная точка (нуль функции): $x = -\frac{2\pi}{3}$, $y = 2\tg(-\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}) = 2\tg(0) = 0$. Точка $(-\frac{2\pi}{3}, 0)$.
• Промежуточная точка справа: $x = -\frac{5\pi}{12}$. $y = 2\tg(-\frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}) = 2\tg(-\frac{5\pi}{12} + \frac{8\pi}{12}) = 2\tg(\frac{3\pi}{12}) = 2\tg(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 1 = 2$. Точка $(-\frac{5\pi}{12}, 2)$.
• Промежуточная точка слева: $x = -\frac{11\pi}{12}$. $y = 2\tg(-\frac{11\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}) = 2\tg(-\frac{11\pi}{12} + \frac{8\pi}{12}) = 2\tg(-\frac{3\pi}{12}) = 2\tg(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot (-1) = -2$. Точка $(-\frac{11\pi}{12}, -2)$.

Для построения графика сначала наносятся вертикальные асимптоты, затем отмечаются найденные точки, которые соединяются плавной возрастающей кривой (ветвью тангенсоиды). Остальные ветви получаются параллельным переносом построенной ветви на $\pi n$ вдоль оси абсцисс.

Ответ: График функции $y = 2\tg(x + \frac{2\pi}{3})$ — это график функции $y = \tg(x)$, сдвинутый по оси $Ox$ влево на $\frac{2\pi}{3}$ и растянутый в 2 раза вдоль оси $Oy$. Период функции $T=\pi$. Вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, нули функции находятся в точках $x = -\frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Построение графика функции $y = \ctg(3x - \frac{\pi}{12})$

Для удобства анализа преобразуем выражение в аргументе функции, вынеся коэффициент при $x$ за скобки: $y = \ctg(3(x - \frac{\pi}{36}))$.

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \ctg(x)$ с помощью следующих геометрических преобразований:

1. Построить график функции $y = \ctg(x)$.
2. Сжать его к оси $Oy$ в 3 раза, чтобы получить график функции $y = \ctg(3x)$.
3. Сдвинуть полученный график вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{36}$ единиц, чтобы получить искомый график $y = \ctg(3(x - \frac{\pi}{36}))$.

Проанализируем свойства функции для более точного построения:

• Область определения: Аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
  $3x - \frac{\pi}{12} \neq \pi n$
  $3x \neq \frac{\pi}{12} + \pi n$
  $x \neq \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Период: Период базовой функции $y=\ctg(x)$ равен $\pi$. Коэффициент при $x$ равен 3, следовательно, период данной функции $T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$):
  $\ctg(3x - \frac{\pi}{12}) = 0$
  $3x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
  $3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n = \frac{6\pi + \pi}{12} + \pi n = \frac{7\pi}{12} + \pi n$
  $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Для построения одной из ветвей графика найдем несколько характерных точек. Возьмем интервал между асимптотами $x = \frac{\pi}{36}$ (при $n=0$) и $x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{36}$ (при $n=1$).

• Центральная точка (нуль функции): $x = \frac{7\pi}{36}$. $y = \ctg(3 \cdot \frac{7\pi}{36} - \frac{\pi}{12}) = \ctg(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = \ctg(\frac{6\pi}{12}) = \ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{7\pi}{36}, 0)$.
• Точка, где значение функции равно 1: $3x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow 3x = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{9}$. Точка $(\frac{\pi}{9}, 1)$.
• Точка, где значение функции равно -1: $3x - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow 3x = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{18}$. Точка $(\frac{5\pi}{18}, -1)$.

Для построения графика сначала наносятся вертикальные асимптоты, затем отмечаются найденные точки, которые соединяются плавной убывающей кривой (ветвью котангенсоиды). Остальные ветви получаются параллельным переносом построенной ветви на $\frac{\pi}{3} n$ вдоль оси абсцисс.

Ответ: График функции $y = \ctg(3x - \frac{\pi}{12})$ — это график функции $y = \ctg(x)$, сжатый в 3 раза к оси $Oy$ и сдвинутый по оси $Ox$ вправо на $\frac{\pi}{36}$. Период функции $T=\frac{\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, нули функции находятся в точках $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

19.13. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\text{ctg} x})^2;$

2) $y = \text{tg} x + \text{tg}|x|;$

3) $y = \sqrt{-\text{tg}^2 x};$

4) $y = \text{ctg} x - \sqrt{\text{ctg}^2 x};$

5) $y = |\text{tg} x|.$

1) $y = (\sqrt{\operatorname{ctg} x})^2$

Для построения графика данной функции сначала найдем ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $\operatorname{ctg} x \ge 0$.
Функция котангенс неотрицательна, когда ее аргумент $x$ находится в первой или третьей координатной четверти. Учитывая периодичность котангенса (период $T=\pi$), получаем, что $\operatorname{ctg} x \ge 0$ при $x \in (\pi k, \pi k + \frac{\pi}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На этой области определения функция упрощается: $y = (\sqrt{\operatorname{ctg} x})^2 = \operatorname{ctg} x$.
Таким образом, для построения графика необходимо взять стандартный график функции $y=\operatorname{ctg} x$ и оставить только те его части, которые соответствуют найденной области определения.

Ответ: График функции представляет собой набор ветвей графика $y = \operatorname{ctg} x$, определенных на промежутках $x \in (\pi k, \pi k + \frac{\pi}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Каждая ветвь начинается от вертикальной асимптоты $x=\pi k$ (стремясь к $+\infty$) и убывает до точки $(\pi k + \frac{\pi}{2}, 0)$.

2) $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}|x|$

Раскроем модуль в выражении, рассмотрев два случая.
1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x$. Это график тангенса, растянутый в два раза вдоль оси ординат. Область определения для этого случая: $x \ge 0, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \{0, 1, 2, ...\}$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}(-x)$. Так как тангенс является нечетной функцией ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$), получаем $y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$. Область определения для этого случая: $x < 0, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \{-1, -2, -3, ...\}$.
Таким образом, итоговый график является кусочно-заданным.

Ответ: Для $x < 0$ график функции совпадает с отрицательной частью оси абсцисс ($y=0$), за исключением выколотых точек $x=-\frac{\pi}{2}+\pi k$ при $k \le 0, k \in \mathbb{Z}$. Для $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y=2\operatorname{tg} x$.

3) $y = \sqrt{-\operatorname{tg}^2 x}$

Область определения функции задается условием $-\operatorname{tg}^2 x \ge 0$.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $\operatorname{tg}^2 x \ge 0$ для всех $x$, где тангенс определен. Следовательно, $-\operatorname{tg}^2 x \le 0$.
Единственный случай, когда условие $-\operatorname{tg}^2 x \ge 0$ выполняется, — это когда $-\operatorname{tg}^2 x = 0$, что эквивалентно $\operatorname{tg} x = 0$.
Уравнение $\operatorname{tg} x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для этих значений $x$ значение функции равно $y = \sqrt{-0^2} = 0$.
Таким образом, функция определена только в этих точках, и ее значение в них равно нулю.

Ответ: График функции состоит из множества изолированных точек, лежащих на оси абсцисс: $(\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \operatorname{ctg} x - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x}$

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2}=|a|$, преобразуем функцию: $y = \operatorname{ctg} x - |\operatorname{ctg} x|$.
Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $\operatorname{ctg} x$.
1. Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$, что соответствует промежуткам $x \in (\pi k, \pi k + \frac{\pi}{2}]$ для $k \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$. В этом случае $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$.
2. Если $\operatorname{ctg} x < 0$, что соответствует промежуткам $x \in (\pi k + \frac{\pi}{2}, \pi(k+1))$ для $k \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$. В этом случае $y = \operatorname{ctg} x - (-\operatorname{ctg} x) = 2\operatorname{ctg} x$.
График функции будет состоять из чередующихся участков.

Ответ: График функции на промежутках $(\pi k, \pi k + \frac{\pi}{2}]$ совпадает с осью абсцисс ($y=0$), а на промежутках $(\pi k + \frac{\pi}{2}, \pi(k+1))$ совпадает с графиком функции $y = 2\operatorname{ctg} x$ (график котангенса, растянутый в 2 раза по оси $Oy$).

5) $y = |\operatorname{tg} x|$

График функции $y = |f(x)|$ строится на основе графика $y=f(x)$. Часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс ($f(x) \ge 0$), остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси абсцисс ($f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси абсцисс.
1. Строим график функции $y = \operatorname{tg} x$. Он имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Части графика, где $\operatorname{tg} x \ge 0$ (интервалы $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$), оставляем без изменений.
3. Части графика, где $\operatorname{tg} x < 0$ (интервалы $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k)$), отражаем симметрично вверх относительно оси $Ox$. Это то же самое, что построить график $y=-\operatorname{tg} x$ на этих интервалах.
В результате все ветви графика окажутся в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Ответ: График функции $y = |\operatorname{tg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ отражением всех его частей, лежащих ниже оси $Ox$, в верхнюю полуплоскость. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ сохраняются.