Страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.21. Найдите нули функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1};$

2) $f(x) = \sqrt{x^2 + 9};$

3) $f(x) = x\sqrt{x - 1};$

4) $f(x) = \sqrt{|x| - 2}.$

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0, \\ x - 1 \ne 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Теперь проверим второе условие системы: $x - 1 \ne 0$, что означает $x \ne 1$.

Из найденных корней ($x_1 = 1$ и $x_2 = 2$) корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ne 1$, поэтому он не является нулем функции (в этой точке функция не определена).

Единственным нулем функции является $x = 2$.

Ответ: 2.

2) $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\sqrt{x^2 + 9} = 0$

Область определения функции задается условием $x^2 + 9 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 9$ всегда будет больше или равно 9. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2 + 9 = 0$

$x^2 = -9$

Данное уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.

3) $f(x) = x\sqrt{x - 1}$

Приравниваем функцию к нулю:

$x\sqrt{x - 1} = 0$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x = 0$

2. $\sqrt{x - 1} = 0$

В первом случае $x = 0$. Это значение не входит в область определения функции ($x \ge 1$), поэтому не является ее нулем.

Во втором случае $\sqrt{x - 1} = 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Это значение принадлежит области определения ($1 \ge 1$), следовательно, является нулем функции.

Таким образом, функция имеет единственный нуль.

Ответ: 1.

4) $f(x) = \sqrt{|x| - 2}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\sqrt{|x| - 2} = 0$

Область определения функции задается условием $|x| - 2 \ge 0$, то есть $|x| \ge 2$. Это неравенство выполняется при $x \ge 2$ или $x \le -2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$|x| - 2 = 0$

$|x| = 2$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим, входят ли найденные корни в область определения. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $|x| \ge 2$. Корень $x_2 = -2$ также удовлетворяет условию $|x| \ge 2$. Оба корня принадлежат области определения функции.

Следовательно, функция имеет два нуля.

Ответ: -2; 2.

18.22. Вычислите значение выражения:

1) $\left(\frac{5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2^{-\frac{1}{4}} \cdot 10}\right)^4$;

2) $\left(\frac{7^{\frac{9}{4}} \cdot 3^{\frac{7}{4}}}{3^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}}\right)^{\frac{2}{3}}$.

1) Для вычисления значения выражения $(\frac{5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2^{-\frac{1}{4}} \cdot 10})^4$ выполним следующие шаги.
Сначала упростим выражение внутри скобок. В числителе применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:
$5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = (5 \cdot 2)^{\frac{3}{4}} = 10^{\frac{3}{4}}$.
Теперь выражение в скобках выглядит так:$\frac{10^{\frac{3}{4}}}{2^{-\frac{1}{4}} \cdot 10}$.
Упростим дробь, работая с основанием 10, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{\frac{3}{4}}}{10^1} = 10^{\frac{3}{4} - 1} = 10^{-\frac{1}{4}}$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{10^{-\frac{1}{4}}}{2^{-\frac{1}{4}}}$.
Применим свойство частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:
$(\frac{10}{2})^{-\frac{1}{4}} = 5^{-\frac{1}{4}}$.
Наконец, возведем полученный результат в степень 4, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(5^{-\frac{1}{4}})^4 = 5^{-\frac{1}{4} \cdot 4} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) Рассмотрим выражение $(\frac{7^{\frac{9}{4}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{3^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}})^{\frac{2}{3}}$.
При решении этого примера в том виде, как он записан, получается громоздкий ответ ($7 \cdot 3^{\frac{25}{18}}$), что маловероятно для задачи с требованием "вычислите". Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и показатель степени у числа 3 в числителе должен быть $\frac{7}{4}$, а не $\frac{7}{3}$. В этом случае решение становится последовательным и приводит к целочисленному ответу. Решим задачу с этим предположением.
Исправленное выражение: $(\frac{7^{\frac{9}{4}} \cdot 3^{\frac{7}{4}}}{3^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}})^{\frac{2}{3}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями внутри скобок:$\frac{7^{\frac{9}{4}}}{7^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{3^{\frac{7}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$.
Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ к каждой группе:
$7^{\frac{9}{4} - \frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{7}{4} - \frac{1}{4}} = 7^{\frac{6}{4}} \cdot 3^{\frac{6}{4}} = 7^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}$.
Теперь используем свойство произведения степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:
$(7 \cdot 3)^{\frac{3}{2}} = 21^{\frac{3}{2}}$.
Возведем полученное выражение в степень $\frac{2}{3}$, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(21^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 21^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 21^1 = 21$.
Ответ: 21.