Страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Перечислите основные свойства функции $y = \sin x$.

1. Область определения.Функция $y = \sin x$ определена для всех действительных значений аргумента $x$, так как для любого действительного числа $x$ можно найти значение его синуса.
Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений.Значения функции синус ограничены и находятся в пределах от -1 до 1 включительно, независимо от значения аргумента $x$.
Ответ: Область значений функции — отрезок $E(y) = [-1; 1]$.

3. Четность.Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
Ответ: Функция $y = \sin x$ — нечетная.

4. Периодичность.Функция является периодической. Ее значения повторяются через каждый интервал длиной $2\pi$. Наименьший положительный период функции равен $2\pi$. Это означает, что $\sin(x + 2\pi n) = \sin(x)$ для любого целого числа $n$.
Ответ: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$.

5. Нули функции.Значение функции равно нулю, когда ее аргумент $x$ является целым кратным числа $\pi$. То есть, уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства.Функция принимает положительные значения ($y > 0$) в I и II координатных четвертях, что соответствует интервалам $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$.Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) в III и IV координатных четвертях, что соответствует интервалам $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$.
Ответ: Функция положительна ($y>0$) при $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности.Функция возрастает на промежутках, где ее значение увеличивается от -1 до 1. Это происходит на отрезках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$.Функция убывает на промежутках, где ее значение уменьшается от 1 до -1. Это происходит на отрезках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$.
Ответ: Функция возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$ и убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума.Максимального значения $y_{max} = 1$ функция достигает в точках $x_{max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.Минимального значения $y_{min} = -1$ функция достигает в точках $x_{min} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, значение в них $y=1$. Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, значение в них $y=-1$, где $n \in \mathbb{Z}$.

9. Непрерывность.Функция $y = \sin x$ является непрерывной на всей своей области определения, то есть на всей числовой прямой. Ее график представляет собой сплошную линию без разрывов.
Ответ: Функция непрерывна на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

2. Перечислите основные свойства функции $y = \cos x$.

1. Область определения

Функция $y = \cos x$ определена для всех действительных значений аргумента $x$, так как для любого числа можно найти значение его косинуса. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Множество значений

Значения функции косинус ограничены и находятся в пределах от -1 до 1 включительно. Это следует из определения косинуса через единичную окружность, где абсцисса точки не может быть больше 1 или меньше -1.

Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.

3. Четность

Функция является четной, так как для любого значения $x$ из области определения выполняется тождество $\cos(-x) = \cos(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: функция четная.

4. Периодичность

Функция $y = \cos x$ является периодической. Ее значения повторяются через определенный интервал. Наименьший положительный период функции равен $2\pi$, так как $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ для любого $x$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 2\pi$.

5. Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, т.е. $\cos x = 0$. Это происходит в точках, соответствующих вершинам единичной окружности на оси OY.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства

Это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
- Функция положительна ($y > 0$), когда $x$ принадлежит интервалам $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Функция отрицательна ($y < 0$), когда $x$ принадлежит интервалам $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$; $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности

Это промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.
- Функция возрастает на отрезках вида $[-\pi + 2\pi n; 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает на отрезках вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: возрастает на $[-\pi + 2\pi n; 2\pi n]$; убывает на $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

8. Экстремумы

Экстремумы — это максимальные и минимальные значения функции.
- Максимальное значение $y_{max} = 1$ достигается в точках $x_{max} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Минимальное значение $y_{min} = -1$ достигается в точках $x_{min} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y_{max} = 1$ при $x = 2\pi n$; $y_{min} = -1$ при $x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

9. Непрерывность

Функция $y = \cos x$ является непрерывной на всей своей области определения. Ее график представляет собой сплошную линию без разрывов и скачков.

Ответ: функция непрерывна на множестве $\mathbb{R}$.

18.1. Принадлежит ли графику функции $y = \cos x$ точка:

1) $A \left(-\frac{\pi}{2}; -1\right)$;

2) $B \left(\frac{9\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

3) $C \left(-4\pi; -1\right)$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты (абсциссу $x$ и ординату $y$) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

Функция задана уравнением: $y = \cos x$.

1) $A(-\frac{\pi}{2}; -1)$

Подставим абсциссу $x = -\frac{\pi}{2}$ в уравнение функции и вычислим значение $y$:

$y = \cos(-\frac{\pi}{2})$

Поскольку функция косинус является четной, $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно:

$y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Полученное значение $y=0$ не совпадает с ординатой точки $A$, которая равна $-1$. Так как $0 \neq -1$, точка $A$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

2) $B(\frac{9\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

Подставим абсциссу $x = \frac{9\pi}{4}$ в уравнение функции:

$y = \cos(\frac{9\pi}{4})$

Функция косинус является периодической с периодом $2\pi$, то есть $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$. Выделим целое число периодов в аргументе:

$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

Следовательно:

$y = \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Полученное значение $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ совпадает с ординатой точки $B$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, точка $B$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

3) $C(-4\pi; -1)$

Подставим абсциссу $x = -4\pi$ в уравнение функции:

$y = \cos(-4\pi)$

Используя свойство четности косинуса, а затем его периодичность:

$y = \cos(4\pi) = \cos(2 \cdot 2\pi + 0) = \cos(0) = 1$

Полученное значение $y=1$ не совпадает с ординатой точки $C$, которая равна $-1$. Так как $1 \neq -1$, точка $C$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.