Номер 18.1, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.1. Принадлежит ли графику функции $y = \cos x$ точка:

1) $A \left(-\frac{\pi}{2}; -1\right)$;

2) $B \left(\frac{9\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

3) $C \left(-4\pi; -1\right)$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты (абсциссу $x$ и ординату $y$) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

Функция задана уравнением: $y = \cos x$.

1) $A(-\frac{\pi}{2}; -1)$

Подставим абсциссу $x = -\frac{\pi}{2}$ в уравнение функции и вычислим значение $y$:

$y = \cos(-\frac{\pi}{2})$

Поскольку функция косинус является четной, $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно:

$y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Полученное значение $y=0$ не совпадает с ординатой точки $A$, которая равна $-1$. Так как $0 \neq -1$, точка $A$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

2) $B(\frac{9\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

Подставим абсциссу $x = \frac{9\pi}{4}$ в уравнение функции:

$y = \cos(\frac{9\pi}{4})$

Функция косинус является периодической с периодом $2\pi$, то есть $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$. Выделим целое число периодов в аргументе:

$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

Следовательно:

$y = \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Полученное значение $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ совпадает с ординатой точки $B$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, точка $B$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

3) $C(-4\pi; -1)$

Подставим абсциссу $x = -4\pi$ в уравнение функции:

$y = \cos(-4\pi)$

Используя свойство четности косинуса, а затем его периодичность:

$y = \cos(4\pi) = \cos(2 \cdot 2\pi + 0) = \cos(0) = 1$

Полученное значение $y=1$ не совпадает с ординатой точки $C$, которая равна $-1$. Так как $1 \neq -1$, точка $C$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.