Номер 17.6, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.6. Докажите, что числа $\frac{2\pi}{3}$ и $-4\pi$ являются периодами функции $f(x) = \cos 3x$.

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Область определения функции $f(x) = \cos(3x)$ — множество всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$), поэтому для любого $x$ и любого $T$ значение $x+T$ также принадлежит области определения.

Проверим, является ли число $T_1 = \frac{2\pi}{3}$ периодом функции $f(x) = \cos(3x)$. Для этого необходимо показать, что $f(x + \frac{2\pi}{3}) = f(x)$ для любого действительного $x$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$f(x + \frac{2\pi}{3}) = \cos\left(3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)\right)$
Раскроем скобки в аргументе косинуса:
$\cos\left(3x + 3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x + 2\pi)$
Функция $\cos(\alpha)$ является периодической с основным периодом $2\pi$, что означает $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$. Применим это свойство, взяв $\alpha = 3x$:
$\cos(3x + 2\pi) = \cos(3x)$
Так как правая часть полученного выражения равна $f(x)$, мы доказали, что $f(x + \frac{2\pi}{3}) = f(x)$.
Ответ: Число $\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \cos(3x)$, что и требовалось доказать.

Проверим, является ли число $T_2 = -4\pi$ периодом функции $f(x) = \cos(3x)$. Для этого необходимо показать, что $f(x - 4\pi) = f(x)$ для любого действительного $x$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$f(x - 4\pi) = \cos(3(x - 4\pi))$
Раскроем скобки в аргументе косинуса:
$\cos(3x - 12\pi)$
Периодом функции косинус является любое число вида $2\pi k$, где $k$ — любое целое число. То есть, $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$. В нашем случае $-12\pi = 2\pi \cdot (-6)$, где $k=-6$.
Применив это свойство для $\alpha = 3x$ и $k = -6$, получаем:
$\cos(3x - 12\pi) = \cos(3x + 2\pi \cdot (-6)) = \cos(3x)$
Так как правая часть полученного выражения равна $f(x)$, мы доказали, что $f(x - 4\pi) = f(x)$.
Ответ: Число $-4\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos(3x)$, что и требовалось доказать.