Номер 17.9, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.9. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = x^2 + 2;$

2) $f(x) = x^2 + 2x;$

3) $f(x) = 2\sqrt{x+3};$

4) $f(x) = 4 - 3\sqrt{x}.$

1) $f(x) = x^2 + 2$

Областью значений функции $y=x^2$ является промежуток $[0; +\infty)$, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом. Это означает, что $x^2 \ge 0$.

Функция $f(x) = x^2 + 2$ представляет собой функцию $y=x^2$, смещенную на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Следовательно, для нахождения ее области значений нужно к границам промежутка $[0; +\infty)$ прибавить 2.

Можно также исходить из неравенства:
$x^2 \ge 0$
$x^2 + 2 \ge 0 + 2$
$f(x) \ge 2$

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $[2; +\infty)$.

2) $f(x) = x^2 + 2x$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1, b=2$.

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Теперь найдем ординату вершины (наименьшее значение функции), подставив $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$

Так как наименьшее значение функции равно -1, а ветви параболы уходят в бесконечность, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.

Другой способ — выделить полный квадрат:
$f(x) = x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$.
Так как $(x+1)^2 \ge 0$, то $(x+1)^2 - 1 \ge -1$. Значит, $f(x) \ge -1$.

Ответ: $[-1; +\infty)$.

3) $f(x) = 2\sqrt{x+3}$

Арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ определен для $a \ge 0$ и его значения также неотрицательны, то есть $\sqrt{a} \ge 0$.

В нашем случае подкоренное выражение $x+3 \ge 0$, что определяет область определения функции: $x \ge -3$.

Для нахождения области значений рассмотрим выражение $\sqrt{x+3}$. Его наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении $x$, то есть при $x=-3$.

При $x=-3$, $\sqrt{-3+3} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, $\sqrt{x+3} \ge 0$.

Умножим это неравенство на 2:

$2\sqrt{x+3} \ge 0 \cdot 2$
$f(x) \ge 0$

Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные числа.

Ответ: $[0; +\infty)$.

4) $f(x) = 4 - 3\sqrt{x}$

Функция определена для $x \ge 0$. Значение арифметического квадратного корня $\sqrt{x}$ также неотрицательно: $\sqrt{x} \ge 0$.

Рассмотрим, как преобразуется это неравенство:

1. Умножим на -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-3\sqrt{x} \le -3 \cdot 0$
$-3\sqrt{x} \le 0$

2. Прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$4 - 3\sqrt{x} \le 4 + 0$
$f(x) \le 4$

Таким образом, функция принимает значения, не превышающие 4. Наибольшее значение, равное 4, достигается при $\sqrt{x}=0$, то есть при $x=0$. Поскольку $x$ может принимать сколь угодно большие значения, $\sqrt{x}$ также неограниченно возрастает, а $-3\sqrt{x}$ неограниченно убывает. Следовательно, у функции нет наименьшего значения.

Область значений функции — это все числа, меньшие или равные 4.

Ответ: $(-\infty; 4]$.