Номер 1, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Перечислите основные свойства функции $y = \sin x$.

1. Область определения.Функция $y = \sin x$ определена для всех действительных значений аргумента $x$, так как для любого действительного числа $x$ можно найти значение его синуса.
Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений.Значения функции синус ограничены и находятся в пределах от -1 до 1 включительно, независимо от значения аргумента $x$.
Ответ: Область значений функции — отрезок $E(y) = [-1; 1]$.

3. Четность.Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
Ответ: Функция $y = \sin x$ — нечетная.

4. Периодичность.Функция является периодической. Ее значения повторяются через каждый интервал длиной $2\pi$. Наименьший положительный период функции равен $2\pi$. Это означает, что $\sin(x + 2\pi n) = \sin(x)$ для любого целого числа $n$.
Ответ: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$.

5. Нули функции.Значение функции равно нулю, когда ее аргумент $x$ является целым кратным числа $\pi$. То есть, уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства.Функция принимает положительные значения ($y > 0$) в I и II координатных четвертях, что соответствует интервалам $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$.Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) в III и IV координатных четвертях, что соответствует интервалам $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$.
Ответ: Функция положительна ($y>0$) при $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности.Функция возрастает на промежутках, где ее значение увеличивается от -1 до 1. Это происходит на отрезках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$.Функция убывает на промежутках, где ее значение уменьшается от 1 до -1. Это происходит на отрезках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$.
Ответ: Функция возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$ и убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума.Максимального значения $y_{max} = 1$ функция достигает в точках $x_{max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.Минимального значения $y_{min} = -1$ функция достигает в точках $x_{min} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, значение в них $y=1$. Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, значение в них $y=-1$, где $n \in \mathbb{Z}$.

9. Непрерывность.Функция $y = \sin x$ является непрерывной на всей своей области определения, то есть на всей числовой прямой. Ее график представляет собой сплошную линию без разрывов.
Ответ: Функция непрерывна на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.