Номер 17.4, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.4. На рисунке 17.5 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 2T]$.

Рис. 17.5

а

б

По условию, функция является периодической с периодом $T$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Нам дан график функции на промежутке $[0, T)$ и требуется построить его на промежутке $[-2T; 2T]$.

Для построения графика на всём заданном промежутке мы воспользуемся свойством периодичности. Мы скопируем данный нам фрагмент графика и сдвинем его вдоль оси абсцисс на целое число периодов ($T$, $2T$, $-T$, $-2T$ и т.д.).

1. Исходный фрагмент. График дан на промежутке $[0, T)$. Из него видно, что $f(0) = 0$. В силу периодичности, значение функции в точке $x=T$ должно быть таким же, как и в точке $x=0$, то есть $f(T) = f(0+T) = f(0) = 0$. Это соответствует виду графика, где нижняя ветвь стремится к точке $(T, 0)$.
2. Построение на $[T, 2T]$. Чтобы получить график на этом промежутке, мы сдвигаем исходный фрагмент на $T$ вправо. Каждая точка $(x_0, y_0)$ с графика на $[0, T)$ переходит в точку $(x_0+T, y_0)$.
3. Построение на $[-2T, 0]$. Чтобы получить график на промежутке $[-T, 0)$, мы сдвигаем исходный фрагмент на $T$ влево. Для получения графика на $[-2T, -T)$ мы сдвигаем исходный фрагмент на $2T$ влево.

В результате на промежутке $[-2T; 2T]$ мы получим четыре полных повторения исходного фрагмента. Значения функции в точках, кратных периоду, будут равны нулю: $f(-2T) = f(-T) = f(0) = f(T) = f(2T) = 0$.

Ответ:

В этом случае график периодической функции с периодом $T$ задан на промежутке $[-\frac{T}{2}; \frac{T}{2}]$. Длина этого промежутка равна $\frac{T}{2} - (-\frac{T}{2}) = T$, то есть нам дан ровно один период функции. На краях этого промежутка ($x \to \frac{T}{2}$ слева и $x \to -\frac{T}{2}$ справа) график уходит в $-\infty$. Это означает, что прямые $x = \frac{T}{2} + nT$ (где $n$ — целое число) являются вертикальными асимптотами графика.

Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ мы, как и в предыдущем задании, повторяем исходный фрагмент, сдвигая его на $T$ влево и вправо.

1. Исходный фрагмент. На промежутке $(-\frac{T}{2}, \frac{T}{2})$ график представляет собой "колокол" с максимумом в точке $x=0$.
2. Построение на соседних интервалах. Сдвигая исходный фрагмент на $T$ вправо, получаем график на интервале $(\frac{T}{2}, \frac{3T}{2})$ с центром в $x=T$. Сдвигая на $T$ влево, получаем график на интервале $(-\frac{3T}{2}, -\frac{T}{2})$ с центром в $x=-T$.
3. Границы промежутка $[-2T; 2T]$. Промежуток $[-2T; 2T]$ включает в себя три полных периода (с центрами в $-T, 0, T$) и две "половинки" периодов на краях: правую часть периода с центром в $-2T$ (на промежутке $[-2T, -\frac{3T}{2})$) и левую часть периода с центром в $2T$ (на промежутке $(\frac{3T}{2}, 2T]$).

Таким образом, вертикальные асимптоты на данном промежутке будут в точках $x = \pm \frac{T}{2}$ и $x = \pm \frac{3T}{2}$.

Ответ: