Номер 17.5, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.5. Докажите, что число T является периодом функции f:

1) $f(x) = \cos \frac{x}{4}$, $T = 8\pi$;

2) $f(x) = \text{tg } 3x$, $T = -\frac{2\pi}{3}$;

3) $f(x) = \text{ctg } \pi x$, $T = 3$;

4) $f(x) = \sin (5x - 2)$, $T = \frac{4\pi}{5}$.

1) Чтобы доказать, что число $T = 8\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos\frac{x}{4}$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \cos\frac{x}{4}$ — все действительные числа, то есть $x \in \mathbb{R}$.
Рассмотрим значение функции в точке $x+T$:
$f(x + 8\pi) = \cos\frac{x + 8\pi}{4} = \cos(\frac{x}{4} + \frac{8\pi}{4}) = \cos(\frac{x}{4} + 2\pi)$.
Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$, поэтому $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos\alpha$ для любого значения $\alpha$. Применяя это свойство, получаем:
$\cos(\frac{x}{4} + 2\pi) = \cos\frac{x}{4} = f(x)$.
Так как $f(x + 8\pi) = f(x)$, то по определению число $T = 8\pi$ является периодом данной функции.
Ответ: Доказано, что $T = 8\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos\frac{x}{4}$.

2) Чтобы доказать, что число $T = -\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}3x$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \operatorname{tg}3x$ — все действительные числа, для которых $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$. Если $x$ принадлежит области определения, то $x+T$ также принадлежит ей.
Рассмотрим значение функции в точке $x+T$:
$f(x - \frac{2\pi}{3}) = \operatorname{tg}(3(x - \frac{2\pi}{3})) = \operatorname{tg}(3x - 3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \operatorname{tg}(3x - 2\pi)$.
Функция тангенс является периодической с основным периодом $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{tg}\alpha$ для любого целого $n$. В данном случае $n=-2$:
$\operatorname{tg}(3x - 2\pi) = \operatorname{tg}(3x) = f(x)$.
Так как $f(x - \frac{2\pi}{3}) = f(x)$, то по определению число $T = -\frac{2\pi}{3}$ является периодом данной функции.
Ответ: Доказано, что $T = -\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}3x$.

3) Чтобы доказать, что число $T = 3$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{ctg}\pi x$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \operatorname{ctg}\pi x$ — все действительные числа, для которых $\pi x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq k, k \in \mathbb{Z}$. Если $x$ не является целым числом, то и $x+3$ не является целым, поэтому $x+T$ также принадлежит области определения.
Рассмотрим значение функции в точке $x+T$:
$f(x + 3) = \operatorname{ctg}(\pi(x + 3)) = \operatorname{ctg}(\pi x + 3\pi)$.
Функция котангенс является периодической с основным периодом $\pi$, поэтому $\operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{ctg}\alpha$ для любого целого $n$. В данном случае $n=3$:
$\operatorname{ctg}(\pi x + 3\pi) = \operatorname{ctg}(\pi x) = f(x)$.
Так как $f(x + 3) = f(x)$, то по определению число $T = 3$ является периодом данной функции.
Ответ: Доказано, что $T = 3$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{ctg}\pi x$.

4) Чтобы доказать, что число $T = \frac{4\pi}{5}$ является периодом функции $f(x) = \sin(5x-2)$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \sin(5x-2)$ — все действительные числа, то есть $x \in \mathbb{R}$.
Рассмотрим значение функции в точке $x+T$:
$f(x + \frac{4\pi}{5}) = \sin(5(x + \frac{4\pi}{5}) - 2) = \sin(5x + 5 \cdot \frac{4\pi}{5} - 2) = \sin(5x + 4\pi - 2)$.
Сгруппируем слагаемые в аргументе синуса: $\sin((5x - 2) + 4\pi)$.
Функция синус является периодической с основным периодом $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha$ для любого целого $k$. В данном случае $k=2$:
$\sin((5x - 2) + 4\pi) = \sin(5x - 2) = f(x)$.
Так как $f(x + \frac{4\pi}{5}) = f(x)$, то по определению число $T = \frac{4\pi}{5}$ является периодом данной функции.
Ответ: Доказано, что $T = \frac{4\pi}{5}$ является периодом функции $f(x) = \sin(5x-2)$.