Номер 17.8, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.8. Докажите, что число $-\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \text{tg} x$.

Для того чтобы доказать, что число $-\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}x$, необходимо показать, что для этого числа не выполняется определение периода функции.

Напомним, что число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции ($D(f)$) выполняются одновременно два условия: во-первых, число $x+T$ также должно принадлежать области определения $D(f)$, и, во-вторых, должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$. Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то $T$ не является периодом.

Проверим первое условие для $T = -\frac{\pi}{2}$. Область определения функции $f(x) = \operatorname{tg}x$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Выберем точку $x=0$, которая очевидно принадлежит области определения функции. Если бы $T = -\frac{\pi}{2}$ был периодом, то точка $x+T = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$ также должна была бы принадлежать области определения. Однако в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ функция $\operatorname{tg}x$ не определена, поскольку ее знаменатель $\cos(-\frac{\pi}{2})$ равен нулю. Таким образом, мы нашли точку $x=0 \in D(f)$, для которой $x+T \notin D(f)$. Это противоречит определению периода.

Этого уже достаточно для доказательства, но для полноты можно показать, что и второе условие также не выполняется. Предположим, что равенство $f(x+T) = f(x)$ все же выполняется для тех $x$, для которых обе части определены. Это дает нам $\operatorname{tg}(x - \frac{\pi}{2}) = \operatorname{tg}x$. Используя формулы приведения, преобразуем левую часть: $\operatorname{tg}(x - \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{ctg}x$. Тогда равенство принимает вид $-\operatorname{ctg}x = \operatorname{tg}x$, или $-\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x}$. Это приводит к уравнению $-\cos^2 x = \sin^2 x$, то есть $\sin^2 x + \cos^2 x = 0$. Данное равенство ложно, так как из основного тригонометрического тождества известно, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Противоречие доказывает, что и второе условие в общем случае не выполняется.

Поскольку условия определения периода для числа $-\frac{\pi}{2}$ не выполняются, данное число не является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}x$.

Ответ: Что и требовалось доказать.