Номер 17.2, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.2. Найдите значение выражения:

1) $\sin 420^\circ$;

2) $\cos 405^\circ$;

3) $\operatorname{tg} (-315^\circ)$;

4) $\sin 1110^\circ$;

5) $\operatorname{tg} 765^\circ$;

6) $\cos \frac{7\pi}{3}$;

7) $\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4}$;

8) $\sin \left( -\frac{9\pi}{4} \right)$;

9) $\operatorname{ctg} \left( -\frac{10\pi}{3} \right)$.

1) sin 420°

Для нахождения значения тригонометрической функции от угла, большего $360°$, используем свойство периодичности синуса. Период синуса равен $360°$, или $2\pi$ радиан. Это означает, что $sin(x + 360° \cdot k) = sin(x)$ для любого целого $k$.
Представим $420°$ в виде суммы $360°$ и некоторого угла:
$420° = 360° + 60°$
Следовательно,
$sin(420°) = sin(360° + 60°) = sin(60°)$
Значение $sin(60°)$ является табличным:
$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) cos 405°

Используем свойство периодичности косинуса. Период косинуса, как и синуса, равен $360°$. Это означает, что $cos(x + 360° \cdot k) = cos(x)$ для любого целого $k$.
Представим $405°$ в виде суммы $360°$ и некоторого угла:
$405° = 360° + 45°$
Следовательно,
$cos(405°) = cos(360° + 45°) = cos(45°)$
Значение $cos(45°)$ является табличным:
$cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) tg (–315°)

Используем свойство нечетности тангенса: $tg(-x) = -tg(x)$.
$tg(-315°) = -tg(315°)$
Далее используем периодичность тангенса. Период тангенса равен $180°$. $tg(x + 180° \cdot k) = tg(x)$.
Представим $315°$ как $180° + 135°$ или как $360° - 45°$. Воспользуемся вторым вариантом и формулой приведения $tg(360° - \alpha) = -tg(\alpha)$.
$-tg(315°) = -tg(360° - 45°) = -(-tg(45°)) = tg(45°)$
Альтернативный способ: можно использовать периодичность, чтобы привести угол к положительному значению в первом обороте. Период тангенса $180°$, но также можно использовать и $360°$, так как $360° = 2 \cdot 180°$.
$tg(-315°) = tg(-315° + 360°) = tg(45°)$
Значение $tg(45°)$ является табличным:
$tg(45°) = 1$
Ответ: $1$

4) sin 1110°

Используем периодичность синуса ($360°$). Найдем, сколько полных оборотов содержится в $1110°$.
$1110 : 360 = 3$ (остаток $30$), так как $3 \cdot 360° = 1080°$.
$1110° = 3 \cdot 360° + 30°$
Следовательно,
$sin(1110°) = sin(3 \cdot 360° + 30°) = sin(30°)$
Значение $sin(30°)$ является табличным:
$sin(30°) = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

5) tg 765°

Используем периодичность тангенса ($180°$). Найдем, сколько периодов содержится в $765°$.
$765 : 180 = 4$ (остаток $45$), так как $4 \cdot 180° = 720°$.
$765° = 4 \cdot 180° + 45°$
Следовательно,
$tg(765°) = tg(4 \cdot 180° + 45°) = tg(45°)$
Значение $tg(45°)$ является табличным:
$tg(45°) = 1$
Ответ: $1$

6) cos (7π/3)

Используем периодичность косинуса ($2\pi$). Представим дробь $\frac{7\pi}{3}$ в виде суммы целого числа периодов и угла в пределах от $0$ до $2\pi$.
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$
Следовательно,
$cos(\frac{7\pi}{3}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3})$
Значение $cos(\frac{\pi}{3})$ является табличным:
$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

7) ctg (5π/4)

Используем периодичность котангенса ($\pi$). Представим дробь $\frac{5\pi}{4}$ в виде суммы целого числа периодов и некоторого угла.
$\frac{5\pi}{4} = \frac{4\pi + \pi}{4} = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$
Следовательно,
$ctg(\frac{5\pi}{4}) = ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = ctg(\frac{\pi}{4})$
Значение $ctg(\frac{\pi}{4})$ является табличным:
$ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$
Ответ: $1$

8) sin (–9π/4)

Используем свойство нечетности синуса: $sin(-x) = -sin(x)$.
$sin(-\frac{9\pi}{4}) = -sin(\frac{9\pi}{4})$
Теперь используем периодичность синуса ($2\pi$).
$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$
Следовательно,
$-sin(\frac{9\pi}{4}) = -sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4})$
Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным:
$-sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

9) ctg (–10π/3)

Используем свойство нечетности котангенса: $ctg(-x) = -ctg(x)$.
$ctg(-\frac{10\pi}{3}) = -ctg(\frac{10\pi}{3})$
Теперь используем периодичность котангенса ($\pi$).
$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = \frac{9\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$
Следовательно,
$-ctg(\frac{10\pi}{3}) = -ctg(3\pi + \frac{\pi}{3}) = -ctg(\frac{\pi}{3})$
Значение $ctg(\frac{\pi}{3})$ является табличным:
$-ctg(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$