Номер 16.18, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.18. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1};$

2) $\sqrt{15 - 3x - 1} = x.$

1) $\sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1}$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. Составим систему неравенств для нахождения области допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - 36 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 36$, что равносильно $|x| \ge 6$. Следовательно, $x \in (-\infty; -6] \cup [6; \infty)$.

Решим второе неравенство: $2x \ge 1$, что дает $x \ge 0.5$.

Найдем пересечение этих двух множеств, чтобы определить ОДЗ: $x \in [6; \infty)$.

Теперь, когда обе части уравнения определены и неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x^2 - 36})^2 = (\sqrt{2x - 1})^2$

$x^2 - 36 = 2x - 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 36 + 1 = 0$

$x^2 - 2x - 35 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета: сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-35$. Легко подобрать корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):

• Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 6$, следовательно, является решением уравнения.
• Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 \ge 6$, поэтому это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $7$.

2) $\sqrt{15 - 3x} - 1 = x$

Для начала изолируем радикал в левой части уравнения, перенеся $-1$ в правую часть:

$\sqrt{15 - 3x} = x + 1$

Для того чтобы уравнение имело решение, должны выполняться два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Во-вторых, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Составим систему ограничений (ОДЗ):

$\begin{cases} 15 - 3x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $15 \ge 3x$, что дает $x \le 5$.

Решим второе неравенство: $x \ge -1$.

Объединив эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [-1; 5]$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе его части в квадрат (это возможно, так как мы учли, что обе части неотрицательны):

$(\sqrt{15 - 3x})^2 = (x + 1)^2$

$15 - 3x = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = x^2 + 2x + 3x + 1 - 15$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-14$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-1; 5]$):

• Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $-1 \le 2 \le 5$, следовательно, это верное решение.
• Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию ($-7 < -1$), поэтому это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $2$.