Страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.18. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1};$

2) $\sqrt{15 - 3x - 1} = x.$

1) $\sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1}$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. Составим систему неравенств для нахождения области допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - 36 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 36$, что равносильно $|x| \ge 6$. Следовательно, $x \in (-\infty; -6] \cup [6; \infty)$.

Решим второе неравенство: $2x \ge 1$, что дает $x \ge 0.5$.

Найдем пересечение этих двух множеств, чтобы определить ОДЗ: $x \in [6; \infty)$.

Теперь, когда обе части уравнения определены и неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x^2 - 36})^2 = (\sqrt{2x - 1})^2$

$x^2 - 36 = 2x - 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 36 + 1 = 0$

$x^2 - 2x - 35 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета: сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-35$. Легко подобрать корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):

• Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 6$, следовательно, является решением уравнения.
• Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 \ge 6$, поэтому это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $7$.

2) $\sqrt{15 - 3x} - 1 = x$

Для начала изолируем радикал в левой части уравнения, перенеся $-1$ в правую часть:

$\sqrt{15 - 3x} = x + 1$

Для того чтобы уравнение имело решение, должны выполняться два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Во-вторых, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Составим систему ограничений (ОДЗ):

$\begin{cases} 15 - 3x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $15 \ge 3x$, что дает $x \le 5$.

Решим второе неравенство: $x \ge -1$.

Объединив эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [-1; 5]$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе его части в квадрат (это возможно, так как мы учли, что обе части неотрицательны):

$(\sqrt{15 - 3x})^2 = (x + 1)^2$

$15 - 3x = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = x^2 + 2x + 3x + 1 - 15$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-14$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-1; 5]$):

• Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $-1 \le 2 \le 5$, следовательно, это верное решение.
• Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию ($-7 < -1$), поэтому это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $2$.

16.19. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x^2 - 2x}{x + 2} \le 3;$

2) $\frac{x^2 + 3x}{x - 3} \ge -2;$

3) $(x + 1)(x - 2)(x + 3)^2 > 0;$

4) $(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2 \le 0.$

1) $\frac{x^2 - 2x}{x + 2} \le 3$

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:
$\frac{x^2 - 2x}{x + 2} - 3 \le 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - 2x - 3(x + 2)}{x + 2} \le 0$
$\frac{x^2 - 2x - 3x - 6}{x + 2} \le 0$
$\frac{x^2 - 5x - 6}{x + 2} \le 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x^2 - 5x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точки $x=6$ и $x=-1$ будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=-2$ будет выколотой, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Получаем интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1]$, $[-1; 6]$, $[6; +\infty)$.
Определим знак выражения $\frac{(x-6)(x+1)}{x+2}$ на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -2)$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)_ {(-)} < 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-2; -1]$ (например, $x=-1.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in [-1; 6]$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Интервал подходит.
• При $x \in [6; +\infty)$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал не подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем множество решений.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 6]$.

2) $\frac{x^2 + 3x}{x - 3} \ge -2$

Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{x^2 + 3x}{x - 3} + 2 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 + 3x + 2(x - 3)}{x - 3} \ge 0$
$\frac{x^2 + 3x + 2x - 6}{x - 3} \ge 0$
$\frac{x^2 + 5x - 6}{x - 3} \ge 0$

Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x^2 + 5x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Отметим точки на числовой оси. Точки $x=1$ и $x=-6$ закрашенные (неравенство нестрогое), точка $x=3$ выколотая (знаменатель).
Получаем интервалы: $(-\infty; -6]$, $[-6; 1]$, $[1; 3)$, $(3; +\infty)$.
Определим знак выражения $\frac{(x-1)(x+6)}{x-3}$ на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -6]$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Не подходит.
• При $x \in [-6; 1]$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Подходит.
• При $x \in [1; 3)$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Не подходит.
• При $x \in (3; +\infty)$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Подходит.

Объединяем подходящие интервалы.
Ответ: $x \in [-6, 1] \cup (3, +\infty)$.

3) $(x + 1)(x - 2)(x + 3)^2 > 0$

Это неравенство решается методом интервалов. Найдем нули выражения в левой части:
$x+1=0 \Rightarrow x=-1$
$x-2=0 \Rightarrow x=2$
$(x+3)^2=0 \Rightarrow x=-3$ (корень кратности 2)

Отметим все нули на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.
Точка $x=-3$ является корнем четной кратности, поэтому при переходе через нее знак выражения меняться не будет.
Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.
Определим знаки на интервалах:

• При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x=3$): $(+)(+)(+)^2 > 0$. Подходит.
• При $x \in (-1; 2)$ (например, $x=0$): $(+)(-)(+)^2 < 0$. Не подходит.
• При $x \in (-3; -1)$ (например, $x=-2$): $(-)(-)(+)^2 > 0$. Подходит.
• При $x \in (-\infty; -3)$ (например, $x=-4$): $(-)(-)(-)^2 > 0$. Подходит (знак не сменился).

Объединяем интервалы, где выражение положительно.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -1) \cup (2, +\infty)$.

4) $(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2 \le 0$

Множитель $(x - 3)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Неравенство $\le 0$ может выполняться в двух случаях:

Случай 1: Выражение равно нулю.
$(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2 = 0$
Это происходит, когда один из множителей равен нулю: $x = -2$, $x = 1$, $x = 3$. Все эти три значения являются решениями неравенства.

Случай 2: Выражение строго меньше нуля.
$(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2 < 0$
Поскольку $(x - 3)^2 > 0$ для всех $x \neq 3$, мы можем разделить обе части на этот множитель, не меняя знака неравенства. Получим:
$(x + 2)(x - 1) < 0$, при условии что $x \neq 3$.
Решением неравенства $(x + 2)(x - 1) < 0$ является интервал между корнями $x=-2$ и $x=1$.
То есть, $x \in (-2, 1)$. Это условие не противоречит ограничению $x \neq 3$.

Теперь объединим решения из обоих случаев:
Из случая 1: $x \in \{-2, 1, 3\}$.
Из случая 2: $x \in (-2, 1)$.
Объединяя интервал $(-2, 1)$ с его граничными точками $-2$ и $1$, получаем отрезок $[-2, 1]$. К этому множеству нужно добавить оставшееся решение $x=3$.
Ответ: $x \in [-2, 1] \cup \{3\}$.