Страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Какие из тригонометрических функций являются чётными, а какие — нечётными? Запишите соответствующие равенства.

Для определения чётности или нечётности тригонометрических функций необходимо вспомнить определения.
Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Чётные тригонометрические функции
Единственной чётной функцией из основных тригонометрических функций является косинус. Это можно увидеть на единичной окружности: для углов $x$ и $-x$ значения абсциссы (которая и представляет собой косинус) совпадают. Следовательно, для функции косинус выполняется равенство:
$ \cos(-x) = \cos(x) $

Ответ: Чётной функцией является косинус. Соответствующее равенство: $\cos(-x) = \cos(x)$.

Нечётные тригонометрические функции
К нечётным функциям относятся синус, тангенс и котангенс.
1. Для синуса, при рассмотрении углов $x$ и $-x$ на единичной окружности, их ординаты (которые представляют собой синус) равны по модулю, но противоположны по знаку. Таким образом:
$ \sin(-x) = -\sin(x) $
2. Для тангенса, используя его определение через синус и косинус, получаем:
$ \tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x) $
3. Для котангенса аналогично:
$ \cot(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos(x)}{-\sin(x)} = -\cot(x) $

Ответ: Нечётными функциями являются синус, тангенс и котангенс. Соответствующие равенства: $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\tan(-x) = -\tan(x)$, $\cot(-x) = -\cot(x)$.

16.1. Углом какой четверти является угол:

1) $38^\circ$;

2) $196^\circ$;

3) $217^\circ$;

4) $-74^\circ$;

5) $-285^\circ$;

6) $\frac{3\pi}{5}$;

7) $\frac{7\pi}{6}$;

8) $\frac{7\pi}{4}$;

9) $-\frac{2\pi}{3}$;

10) $-\frac{16\pi}{9}$?

Для определения четверти, в которой находится угол, мы используем следующие диапазоны:

• I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$)
• II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$)
• III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$)
• IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$)

Для отрицательных углов мы находим соответствующий им положительный угол, прибавляя $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан) до тех пор, пока угол не станет положительным. Для углов в радианах удобно перевести их в градусы по формуле $1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi}$.

1) $38^\circ$
Угол $38^\circ$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < 38^\circ < 90^\circ$.
Ответ: I четверть.

2) $196^\circ$
Угол $196^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 196^\circ < 270^\circ$.
Ответ: III четверть.

3) $217^\circ$
Угол $217^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 217^\circ < 270^\circ$.
Ответ: III четверть.

4) $-74^\circ$
Для отрицательного угла $-74^\circ$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $360^\circ$:
$-74^\circ + 360^\circ = 286^\circ$.
Угол $286^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 286^\circ < 360^\circ$.
Ответ: IV четверть.

5) $-285^\circ$
Для отрицательного угла $-285^\circ$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $360^\circ$:
$-285^\circ + 360^\circ = 75^\circ$.
Угол $75^\circ$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < 75^\circ < 90^\circ$.
Ответ: I четверть.

6) $\frac{3\pi}{5}$
Переведем угол из радианной меры в градусную:
$\frac{3\pi}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.
Угол $108^\circ$ удовлетворяет неравенству $90^\circ < 108^\circ < 180^\circ$.
Ответ: II четверть.

7) $\frac{7\pi}{6}$
Переведем угол из радианной меры в градусную:
$\frac{7\pi}{6} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{6} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$.
Угол $210^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$.
Ответ: III четверть.

8) $\frac{7\pi}{4}$
Переведем угол из радианной меры в градусную:
$\frac{7\pi}{4} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{4} = 7 \cdot 45^\circ = 315^\circ$.
Угол $315^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$.
Ответ: IV четверть.

9) $-\frac{2\pi}{3}$
Для отрицательного угла $-\frac{2\pi}{3}$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Переведем угол $\frac{4\pi}{3}$ в градусную меру:
$\frac{4\pi}{3} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{3} = 4 \cdot 60^\circ = 240^\circ$.
Угол $240^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$.
Ответ: III четверть.

10) $-\frac{16\pi}{9}$
Для отрицательного угла $-\frac{16\pi}{9}$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$:
$-\frac{16\pi}{9} + 2\pi = -\frac{16\pi}{9} + \frac{18\pi}{9} = \frac{2\pi}{9}$.
Переведем угол $\frac{2\pi}{9}$ в градусную меру:
$\frac{2\pi}{9} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{9} = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.
Угол $40^\circ$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$.
Ответ: I четверть.

16.2. Положительным или отрицательным числом является значение тригонометрической функции:

1) $ \sin 110^\circ $;

2) $ \cos 200^\circ $;

3) $ \operatorname{tg} 160^\circ $;

4) $ \sin (-280^\circ) $;

5) $ \operatorname{tg} (-75^\circ) $;

6) $ \operatorname{ctg} (-230^\circ) $;

7) $ \cos 2 $;

8) $ \sin (-3) $;

9) $ \operatorname{ctg} 1,7 $;

10) $ \operatorname{tg} 1 $;

11) $ \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} $;

12) $ \cos \frac{2\pi}{3} $?

1) sin 110°

Чтобы определить знак значения тригонометрической функции, нужно найти, в какой координатной четверти находится угол. Угол $110°$ находится в пределах от $90°$ до $180°$ ($90° < 110° < 180°$). Это вторая координатная четверть. В этой четверти значения функции синус являются положительными. Следовательно, $\sin 110° > 0$.

Ответ: положительным числом.

2) cos 200°

Угол $200°$ находится в пределах от $180°$ до $270°$ ($180° < 200° < 270°$). Это третья координатная четверть. В этой четверти значения функции косинус являются отрицательными. Следовательно, $\cos 200° < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

3) tg 160°

Угол $160°$ находится в пределах от $90°$ до $180°$ ($90° < 160° < 180°$). Это вторая координатная четверть. В этой четверти значения функции тангенс являются отрицательными. Следовательно, $\text{tg } 160° < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

4) sin (–280°)

Синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому $\sin(-280°) = -\sin(280°)$. Угол $280°$ находится в пределах от $270°$ до $360°$ ($270° < 280° < 360°$), что соответствует четвертой координатной четверти. В четвертой четверти синус отрицателен, значит $\sin(280°) < 0$. Тогда $\sin(-280°) = -(\text{отрицательное число}) > 0$.
Другой способ — найти положительный угол, соответствующий данному: $-280° + 360° = 80°$. Этот угол находится в первой четверти, где синус положителен.

Ответ: положительным числом.

5) tg (–75°)

Тангенс является нечетной функцией, то есть $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$. Поэтому $\text{tg}(-75°) = -\text{tg}(75°)$. Угол $75°$ находится в первой четверти ($0° < 75° < 90°$), где тангенс положителен. Значит, $\text{tg}(75°) > 0$. Тогда $\text{tg}(-75°) = -(\text{положительное число}) < 0$.
Также можно заметить, что угол $-75°$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен.

Ответ: отрицательным числом.

6) ctg (–230°)

Котангенс является нечетной функцией, то есть $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$. Поэтому $\text{ctg}(-230°) = -\text{ctg}(230°)$. Угол $230°$ находится в третьей четверти ($180° < 230° < 270°$), где котангенс положителен. Значит, $\text{ctg}(230°) > 0$. Тогда $\text{ctg}(-230°) = -(\text{положительное число}) < 0$.
Другой способ — найти положительный угол, соответствующий данному: $-230° + 360° = 130°$. Этот угол находится во второй четверти, где котангенс отрицателен.

Ответ: отрицательным числом.

7) cos 2

Если у угла не указаны градусы, значит, он измеряется в радианах. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$. Тогда $\pi/2 \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Угол 2 радиана удовлетворяет неравенству $\pi/2 < 2 < \pi$. Это вторая координатная четверть. В этой четверти косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 2 < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

8) sin (–3)

Угол дан в радианах. Синус — нечетная функция: $\sin(-3) = -\sin(3)$. Определим знак $\sin(3)$. Так как $\pi/2 \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, то угол 3 радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$). Во второй четверти синус положителен, $\sin(3) > 0$. Следовательно, $\sin(-3) = -\sin(3) < 0$.
Также можно заметить, что угол $-3$ радиана находится в третьей четверти ($-\pi < -3 < -\pi/2$), где синус отрицателен.

Ответ: отрицательным числом.

9) ctg 1,7

Угол дан в радианах. Используем приближенное значение $\pi/2 \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Угол 1,7 радиана удовлетворяет неравенству $\pi/2 < 1,7 < \pi$. Это вторая координатная четверть. В этой четверти котангенс отрицателен. Следовательно, $\text{ctg } 1,7 < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

10) tg 1

Угол дан в радианах. Используем приближенное значение $\pi/2 \approx 1,57$. Угол 1 радиан удовлетворяет неравенству $0 < 1 < \pi/2$. Это первая координатная четверть. В этой четверти все тригонометрические функции положительны. Следовательно, $\text{tg } 1 > 0$.

Ответ: положительным числом.

11) ctg (7π/4)

Определим, в какой четверти находится угол $7\pi/4$. Сравним его с границами четвертей: $3\pi/2 = 6\pi/4$ и $2\pi = 8\pi/4$. Получаем неравенство $3\pi/2 < 7\pi/4 < 2\pi$. Это четвертая координатная четверть. В этой четверти котангенс отрицателен. Следовательно, $\text{ctg}(7\pi/4) < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

12) cos (2π/3)

Определим, в какой четверти находится угол $2\pi/3$. Сравним его с границами четвертей: $\pi/2$ и $\pi$. Так как $2/3$ находится между $1/2$ и $1$, то $\pi/2 < 2\pi/3 < \pi$. Это вторая координатная четверть. В этой четверти косинус отрицателен. Следовательно, $\cos(2\pi/3) < 0$. (Точное значение $\cos(2\pi/3) = -1/2$).

Ответ: отрицательным числом.

16.3. Какой знак имеет:

1) $\text{tg } 104^{\circ}$;

2) $\cos 220^{\circ}$;

3) $\sin (-36^{\circ})$;

4) $\cos (-78^{\circ})$;

5) $\text{ctg } (-291^{\circ})$;

6) $\sin \frac{3\pi}{7}$;

7) $\cos \left(-\frac{13\pi}{12}\right)$;

8) $\text{ctg } \left(-\frac{19\pi}{12}\right)?$

1) tg 104°

Чтобы определить знак тангенса угла 104°, сначала определим, в какой координатной четверти находится этот угол. Так как $90° < 104° < 180°$, угол 104° находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен ($sin(x) > 0$), а косинус отрицателен ($cos(x) < 0$). Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$. Таким образом, $tg(104°)$ имеет знак $\frac{+}{-}$, то есть является отрицательным числом.

Ответ: минус.

2) cos 220°

Определим, в какой координатной четверти находится угол 220°. Так как $180° < 220° < 270°$, угол 220° находится в третьей четверти. В третьей четверти косинус имеет отрицательный знак.

Ответ: минус.

3) sin(-36°)

Отрицательный угол -36° означает движение по часовой стрелке от начальной точки на 36°. Этот угол попадает в четвертую координатную четверть. В четвертой четверти синус отрицателен. Альтернативный способ — использовать свойство нечетности функции синус: $sin(-x) = -sin(x)$. Следовательно, $sin(-36°) = -sin(36°)$. Угол 36° находится в первой четверти, где синус положителен. Значит, $-sin(36°)$ — отрицательное число.

Ответ: минус.

4) cos(-78°)

Угол -78° находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти косинус положителен. Альтернативный способ — использовать свойство четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos(-78°) = cos(78°)$. Угол 78° находится в первой четверти, где косинус положителен.

Ответ: плюс.

5) ctg(-291°)

Чтобы определить знак, можно найти положительный угол, сонаправленный с данным, прибавив 360°: $-291° + 360° = 69°$. Угол 69° находится в первой координатной четверти. В первой четверти все тригонометрические функции, включая котангенс, положительны. Следовательно, $ctg(-291°)$ имеет положительный знак.

Ответ: плюс.

6) sin $\frac{3\pi}{7}$

Определим, в какой четверти находится угол $\frac{3\pi}{7}$ радиан. Сравним его с граничными значениями первой четверти: $0$ и $\frac{\pi}{2}$. Представим $\frac{\pi}{2}$ в виде дроби со знаменателем 7: $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$. Так как $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{3.5\pi}{7}$, то $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$. Угол находится в первой четверти, где синус положителен.

Ответ: плюс.

7) cos $(-\frac{13\pi}{12})$

Косинус является четной функцией, поэтому $cos(-\frac{13\pi}{12}) = cos(\frac{13\pi}{12})$. Теперь определим четверть для угла $\frac{13\pi}{12}$. Мы знаем, что $\pi = \frac{12\pi}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{18\pi}{12}$. Поскольку $\frac{12\pi}{12} < \frac{13\pi}{12} < \frac{18\pi}{12}$, то $\pi < \frac{13\pi}{12} < \frac{3\pi}{2}$. Угол $\frac{13\pi}{12}$ находится в третьей четверти. В третьей четверти косинус отрицателен.

Ответ: минус.

8) ctg $(-\frac{19\pi}{12})$

Чтобы определить знак, найдем сонаправленный положительный угол. Для этого прибавим к данному углу $2\pi$ (полный оборот). $2\pi = \frac{24\pi}{12}$. $-\frac{19\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$. Теперь определим четверть для угла $\frac{5\pi}{12}$. Сравним его с $\frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12}$. Так как $0 < \frac{5\pi}{12} < \frac{6\pi}{12}$, то $0 < \frac{5\pi}{12} < \frac{\pi}{2}$. Угол находится в первой четверти, где котангенс положителен.

Ответ: плюс.

16.4. Найдите значение выражения:

1) $ \sin (-30^{\circ}) $;

2) $ \operatorname{tg} (-60^{\circ}) $;

3) $ \operatorname{ctg} (-45^{\circ}) $;

4) $ \cos (-30^{\circ}) $.

1) Для нахождения значения выражения $ \sin(-30^\circ) $ используется свойство нечетности функции синус, которое гласит: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.
Применяя это свойство для угла $ -30^\circ $, получаем:
$ \sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) $.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $.
Таким образом, $ \sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

2) Для нахождения значения выражения $ \mathrm{tg}(-60^\circ) $ используется свойство нечетности функции тангенс: $ \mathrm{tg}(-\alpha) = -\mathrm{tg}(\alpha) $.
Применяя это свойство для угла $ -60^\circ $, получаем:
$ \mathrm{tg}(-60^\circ) = -\mathrm{tg}(60^\circ) $.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \mathrm{tg}(60^\circ) = \sqrt{3} $.
Таким образом, $ \mathrm{tg}(-60^\circ) = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $.

3) Для нахождения значения выражения $ \mathrm{ctg}(-45^\circ) $ используется свойство нечетности функции котангенс: $ \mathrm{ctg}(-\alpha) = -\mathrm{ctg}(\alpha) $.
Применяя это свойство для угла $ -45^\circ $, получаем:
$ \mathrm{ctg}(-45^\circ) = -\mathrm{ctg}(45^\circ) $.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \mathrm{ctg}(45^\circ) = 1 $.
Таким образом, $ \mathrm{ctg}(-45^\circ) = -1 $.
Ответ: $ -1 $.

4) Для нахождения значения выражения $ \cos(-30^\circ) $ используется свойство четности функции косинус, которое гласит: $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.
Применяя это свойство для угла $ -30^\circ $, получаем:
$ \cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) $.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Таким образом, $ \cos(-30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

16.5. Чему равно значение выражения:

1) $ \cos (-60^\circ) + \operatorname{tg} (-45^\circ) $;

2) $ \operatorname{ctg} (-60^\circ)\sin (-45^\circ)\cos (-45^\circ) $?

1) Для вычисления значения выражения $cos(-60°) + tg(-45°)$ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций.

Функция косинус является четной, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
Функция тангенс является нечетной, то есть $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.

Применяя эти свойства, получаем:
$cos(-60°) = cos(60°)$
$tg(-45°) = -tg(45°)$

Теперь подставим табличные значения этих функций:
$cos(60°) = \frac{1}{2}$
$tg(45°) = 1$

Исходное выражение принимает вид:
$\frac{1}{2} + (-1) = \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Для вычисления значения выражения $ctg(-60°)sin(-45°)cos(-45°)$ также используем свойства четности и нечетности.

Функции котангенс и синус являются нечетными, а косинус — четной:
$ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$
$sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$
$cos(-\alpha) = cos(\alpha)$

Преобразуем выражение:
$ctg(-60°)sin(-45°)cos(-45°) = (-ctg(60°)) \cdot (-sin(45°)) \cdot cos(45°)$

Подставим табличные значения:
$ctg(60°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выполним вычисления:
$(-\frac{\sqrt{3}}{3}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

16.6. Найдите значение выражения:

1) $ \sin (-30^{\circ}) - 2\text{tg} (-45^{\circ}) + \cos (-45^{\circ}); $

2) $ 5\text{tg} 0 + 2\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) - 3\text{ctg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 4\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right); $

3) $ \text{tg} \left(-\frac{\pi}{3}\right) \text{ctg} \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\cos (-\pi) + 4\sin^2 \left(-\frac{\pi}{3}\right). $

1) $\sin(-30^\circ) - 2\text{tg}(-45^\circ) + \cos(-45^\circ)$

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также их табличными значениями.
Свойства четности/нечетности:
$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (синус — нечетная функция)
$\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ (тангенс — нечетная функция)
$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (косинус — четная функция)
Применяя эти свойства, преобразуем выражение:
$\sin(-30^\circ) - 2\text{tg}(-45^\circ) + \cos(-45^\circ) = -\sin(30^\circ) - 2(-\text{tg}(45^\circ)) + \cos(45^\circ) = -\sin(30^\circ) + 2\text{tg}(45^\circ) + \cos(45^\circ)$.
Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций:
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
$\text{tg}(45^\circ) = 1$
$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Выполним вычисления:
$-\frac{1}{2} + 2 \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{2} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$.

2) $5\text{tg}\,0 + 2\sin(-\frac{\pi}{6}) - 3\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) + 4\cos(-\frac{\pi}{2})$

Используем свойства четности/нечетности тригонометрических функций:
$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$
$\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$
$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$
Преобразуем исходное выражение:
$5\text{tg}\,0 + 2(-\sin(\frac{\pi}{6})) - 3(-\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) + 4\cos(\frac{\pi}{2}) = 5\text{tg}\,0 - 2\sin(\frac{\pi}{6}) + 3\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + 4\cos(\frac{\pi}{2})$.
Подставим табличные значения:
$\text{tg}\,0 = 0$
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
$\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Выполним вычисления:
$5 \cdot 0 - 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 0 - 1 + 3 + 0 = 2$.
Ответ: $2$.

3) $\text{tg}(-\frac{\pi}{3})\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) + 2\cos(-\pi) + 4\sin^2(-\frac{\pi}{3})$

Используем свойства четности/нечетности. Также учтем, что $\sin^2(-\alpha) = (\sin(-\alpha))^2 = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.
$\text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3})$
$\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{6})$
$\cos(-\pi) = \cos(\pi)$
$\sin^2(-\frac{\pi}{3}) = \sin^2(\frac{\pi}{3})$
Преобразуем выражение:
$(-\text{tg}(\frac{\pi}{3})) \cdot (-\text{ctg}(\frac{\pi}{6})) + 2\cos(\pi) + 4\sin^2(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3})\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) + 2\cos(\pi) + 4\sin^2(\frac{\pi}{3})$.
Подставим табличные значения:
$\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$
$\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$
$\cos(\pi) = -1$
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Выполним вычисления:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3 - 2 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 1 + 3 = 4$.
Ответ: $4$.

16.7. Найдите значение выражения:

$1) 3\sin (-45^\circ) + \cos (-45^\circ) + 2\sin (-30^\circ) + 6\cos (-60^\circ);$

$2) \sin^2(-60^\circ) + \cos^2(-30^\circ);$

$3) 2\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) \operatorname{ctg} \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 3\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + 4\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right).$

1) Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также табличными значениями.
Синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Косинус является четной функцией, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$.
Значения, которые нам понадобятся:$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Преобразуем выражение:$3\sin(-45^\circ) + \cos(-45^\circ) + 2\sin(-30^\circ) + 6\cos(-60^\circ) = 3(-\sin(45^\circ)) + \cos(45^\circ) + 2(-\sin(30^\circ)) + 6\cos(60^\circ)$.
Подставим числовые значения и вычислим:$3(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2(-\frac{1}{2}) + 6(\frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + 3 = -\frac{2\sqrt{2}}{2} + 2 = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

2) Для решения этого примера также используем свойства четности и нечетности.
$\sin^2(-60^\circ) = (\sin(-60^\circ))^2 = (-\sin(60^\circ))^2 = \sin^2(60^\circ)$.
$\cos^2(-30^\circ) = (\cos(-30^\circ))^2 = (\cos(30^\circ))^2 = \cos^2(30^\circ)$.
Табличные значения: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения в выражение:$\sin^2(-60^\circ) + \cos^2(-30^\circ) = \sin^2(60^\circ) + \cos^2(30^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) В данном выражении используются функции, заданные в радианах. Применим свойства четности и нечетности. Тангенс, котангенс и синус - нечетные функции, а косинус - четная.
$\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4})$
$\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{6})$
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$
$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$
Табличные значения: $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, $\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Преобразуем исходное выражение:$2\text{tg}(-\frac{\pi}{4})\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) + 3\sin(-\frac{\pi}{2}) + 4\cos(-\frac{\pi}{6}) = 2(-\text{tg}(\frac{\pi}{4}))(-\text{ctg}(\frac{\pi}{6})) + 3(-\sin(\frac{\pi}{2})) + 4\cos(\frac{\pi}{6})$.
Подставим числовые значения:$2(-1)(-\sqrt{3}) + 3(-1) + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3} - 3 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3$.
Ответ: $4\sqrt{3} - 3$.